数学研究

数学对于很多人来说都是比较头疼的一门学科，而不少人都败在了数学这一门学科上。也许有的人会认为数学在生活中根本就没有什么作用，也许有的人会说如果真的学好学透的话，那么数学的作用也是非常大的。其实呀，真的不是我们吹牛，数学他真的是一门非常有用的学科，就连美国的国防部都在研究数学。也许在这个时候就会有人问，为什么连美国的国防部都在研究数学呢？其实，美国的国防部之所以研究数学，是因为数学与国防部息息相关的。就拿高科技战争来说吧，数学在战争中就发挥着巨大的作用。因为如果想要打赢一场战争，那么首先你得发现敌人在什么位置，就需要雷达和声纳来进行发现，而雷达和声纳不管是在什么距离都能探测到敌人的目标所在 ，所以这就取决于数学中的算法。再者就是在研究武器的时候，都需要涵盖多方面的学科，不仅仅是需要物理和化学，而且这个时候对于数学来说也是必需要用到的。就拿导弹的运行路线和体积重量以及制造系统来说吧，都需要数学作为基础打底。如果没有数学基础的话就不能进行深入的研究。所以说数学在研究武器方面也占有很大的作用。何况在工程、物理、化学等方面都需要数学作为支撑，而且任何一项军事技术突破都离不开数学，就算是在不同的领域，数学的发挥作用是不同的。因此数学的作用很多，并不是举例就能说完的，数学可以说是无处不在，无所不用。那么说到这里，我们也就知道了美国国防部为什么要研究数学。那么你的数学学的怎么样？

“天才在左，疯子在右”很多时候我们会觉得所谓的“天才“神童”的思维让常人难以理解，甚至有一些疯狂。那些年少成名的“神童”，长大之后是延续了年少时的神话还是泯然众人？今天故事的主人公刘汉清曾经16岁考入哈工大，众人都觉得他将来前途无量，而今天他却成了“低保户”在泰州老家过着潦倒的生活。一、16岁进入名校，沉迷数学无法自拔刘汉清是哈尔滨工业大学80级建筑材料系热处理专业的学生，他当年入学时年仅16岁，年少考入名校的他引起了不小的轰动，“神童”“天才”的标签就这样被贴在了刘汉清身上。刘汉清出身农村，他的父母都是农民，因为从小在学习上展现出格外的天赋，所以父母也非常宠爱他，竭尽全力为他创造学习条件。刘汉清就读的哈工大的工科在全国范围内都非常出名，在大学生比较稀缺的当时，能够从哈工大毕业的学生都能找到比较不错的工作，还有很多毕业生进入了国家的国防部、航空部。刘汉清刚刚进入大学的时候也是意气风发，虽然年纪不大但是十分聪颖，学习成绩很好，老师都非常喜欢这个学生。到了大三的时候，刘汉清无意中在学校图书馆看到了《哥德巴赫猜想》，《哥德巴赫猜想》在1979年曾经轰动全国，但那时正在读高中的刘汉清没有机会接触，而如今的接触却让刘汉清彻底爱上了数论。二、沉迷研究，无法毕业刘汉清一头扎进数论的研究，经常是为了学习废寝忘食，有时候每天只睡两个小时。身边的同学都不理解临近毕业的刘汉清为什么要这样做，但是刘汉清对自己的爱好非常坚持，颇有“他人笑我太疯癫，我笑他人看不穿”的意味。可是刘汉清因为把大量的时间花在数学研究上，而荒废了专业课，曾经名列前茅的他成绩一落千丈。大学里的老师都非常担心刘汉清的情况，纷纷找刘汉清谈话，开导刘汉清。告诉刘汉清“有自己的梦想是好的，但是应该先确保毕业。”可是当时的刘汉清十分偏执，依然把精力全部放在数论的研究上，最终他因为成绩不符合毕业标准而没有取得毕业证。三、大学肄业，回到老家刘汉清没有取得毕业证，也就没有办法以大学生的身份找工作，刘汉清只能回到老家，当时他的父亲依然用送他上学的那根扁担挑回了他的行李，不同的是这次父亲的心情是十分沉重的。刘汉清回老家的消息在十里八村都传开了，村里的人也都看不起刘汉清的这种行为，但是刘汉清却觉得没什么，在老家的房子里继续自己的研究。刘汉清高中的老同学得知刘汉清的情况，曾经长途跋涉来找他，得知刘汉清的数学研究有了结果，同学帮助他发表到了海外的论坛，曾经有一位挪威的数学教授对刘汉清的论证过程提出了疑问，刘汉清回复之后却没了音讯。没有工作的刘汉清曾经也被介绍过到一家工厂去工作，但是工厂要上夜班，喜欢晚上做研究的刘汉清没法适应，工作了一个月便回家了，从此之后就再也没有工作过。四、研究无果，靠低保生活据悉我国顶尖的数学家潘承彪曾经对刘汉清的论证过程做过鉴定，认为刘汉清的过程有些问题，后续论证没有意义。而刘汉清坚持自己不是无法证明，而是不需要证明。如今的刘汉清独自住在泰州的老家了，父母年纪大了跟弟弟同住。刘汉清的家里非常潦倒，杂物堆满了房间，锅里是刘汉清母亲为他留的饭。因为没有收入，刘汉清只能靠每个月400元的低保生活，他表示这些钱对他足够了。仰望星空，也要脚踏实地，刘汉清虽然聪颖过人，但是现状却令人唏嘘，即使是天才也不能脱离现实，先生活再追梦。各位网友，刘汉清的故事给你什么启示？

小时候，我们曾经在课外书中读到过欧拉自学数学、刻苦钻研并为后人留下了包括柯尼斯堡七桥问题的解决方案、各种欧拉公式在内的很多数学经典研究成果；我们也曾经了解到过，著名数学家陈景润为钻研数学废寝忘食，并发表了《组合数学》、《初等数论》等经典学术论著。不论是他们钻研科学的锲而不舍精神，还是那勇攀科学高峰的坚定信念，都令我们每一位后人在敬佩之余，对他们更加肃然起敬！数学家陈景润雕像的确，我们每一个人在成功的道路上，都需要那种锲而不舍的精神和勇往直前的坚定信念。然而，上世纪末，某地的一个农村也曾经出现过一位“农村数学家”*清（如下图所示），而他的遭遇，却令我们每一个人都不由得感到唏嘘不已。这究竟是怎么一回事呢？“农村数学家”*清1980年，*清凭借着众人羡慕的高分被哈工大建筑材料系热处理专业录取，全村人都敲锣打鼓欢送他入学。进入大学后， 他前两学年的成绩一直不错。后来在大三那学年，他在图书馆里读到了《哥德巴赫猜想》，从那时起，作为大学生的他便开始“废寝忘食”地把全身心都投入到了“数学研究”之中，一心要证明哥德巴赫猜想并研究出质数在自然数中的分布规律。为了研究，他岂止废寝忘食，后来专业课都不上了，学习成绩很快就被拉下来了。后来，辅导员老师得知他研究数学到了“茶不思饭不想”的地步，曾找过他并劝他至少要完成学业后再搞研究。可惜，他“钻研”得太深，沉浸于其中根本无法自拔，离校时可想而知，他肄业了。回到了家里，他仍一如既往地把自己所有的精力投入到“证明哥德巴赫猜想”和“质数在自然数中的分布规律”之中。别人给他介绍工作后，他总是去几天后觉得“无法专心研究”，主动辞职继续回到家中搞研究。草稿纸、证明纸积累了一麻袋又一麻袋，连他的弟媳都看不下去了，觉得本家的大哥怎么这么没有担当。可至于他的“研究成果”，曾经受到过国外一名数学家的青睐，要求他回信解释一下某个细节，他回信后，那位国外数学家便杳无音信。他自认为“证明了哥德巴赫猜想”，便托关系（通过高中同窗*明）找到了北京某知名大学的一位数学教授。在*明的死缠烂打之下， 那位教授才勉强同意看看*清的研究成果，前几页还证明得比较顺利，可在几页之后便发现“证明过程似乎有些牵强”。如今，*清只能依靠低保勉强度日，当村民们提起他时，都“一致认为”*清已经完全堕落了，和当年那个在敲锣打鼓声中被送上大学之路的那个人相比，已经判若两人。“农村数学家”*清的遭遇不禁让我们都感到扼腕叹息。本来一个智商很高的年轻人，却因钻研数学而无法大学毕业，甚至最后都到了依靠低保度日的地步。难道数学天才就要付出这样的代价吗？可你仔细想想，在全国范围内，又隐藏着多少我们所不知道的数学天才。例如，一位位中小学数学奥林匹克竞赛的奖牌获得者，一位位大学生数学建模竞赛获奖者，包括很多年前少儿频道曾播出过的《数学跷跷板》节目中的一些出色选手。他们在长大后有几个人像*清那样，因研究数学而导致最后到了靠低保度日的地步呢？难道“钻研”有错吗？可你仔细想想，不论是科技的日新月异，还是社会的发展与进步，都离不开各领域优秀专家“锲而不舍”的钻研。江泽民爷爷曾经说过这样一句名言：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”可*清到底是哪里出了错呢？其实，答案很简单——他没弄清现实。而他对现实的疏忽，主要体现在以下两点：1、他没弄清自己真正的水平。想必，他总是以“数学家”来“自居”，总觉得“依靠自己的知识能力一定能证明哥德巴赫猜想并找到质数在自然数中的分布规律”，可实际上他的水平能达到吗？要知道，欧拉、陈景润都是读了多少数学著作、经过了多么高深的教育之后，才发表的真正属于自己的数学学术著作。而单凭*清在高中、大学所学的那么一点数学知识，又怎能和欧拉、陈景润那样真正的数学家相“媲美”呢？2、他没有认清自己的生活中什么是主要的，什么是次要的。在众多数学奥林匹克竞赛中获奖的选手中，很多获奖选手不仅数学好，其他文化课也好，显然他们并没因“爱好数学”而耽误到其他文化课的学习。想当年，笔者在小学数学课上也学到过“质数”，但由于在寒假备课时就已经对“质数”产生了兴趣，再加上伯父后来在数学方面的一些引导，笔者曾经利用课余时间，用“自创的方法”找到过1000以内的全部质数，令周围的很多同伴都感到万分惊讶！但不论怎样，笔者当年的文化课成绩始终是班级甚至全年级的第一名，周末上的英语班根本没因“找质数”而受到任何干扰，而且还在课余时间让自己强化、提高了另一种计算机输入法！同样，对于*清来说，顺利毕业并成就自己的事业，才是他一生的主旋律。钻研数学本来没错，但相比于一生的规划来说，在地位上最多只能作为一个“兴趣爱好”。其实，对于*清来说，最好的办法就是，让自己在正常的学习（以及工作）生活不受到任何的不良影响的前提下，每日或每周抽出点时间来让自己“钻研数学”，不论自己是否研究出了一些成果，都无所谓，至少不会因此而影响到自己的整个人生路，不会让自己因“钻研数学”而倾其所有甚至是“荒废一生”。*清的遭遇真正带给大家的教训，并不是“千万不要搞数学研究”，而是“先弄清楚现实再研究”。在我们的日常生活中，一些比较现实的人往往更容易在自己的人生路中获得成功，毕竟他们一方面知道自己的真正水平，一方面他们也知道自己的生活中什么是主要的、什么是次要的。要知道，只有认清现实，才能让我们在人生的航行中永远不偏离轨道；只有认清现实，才能够让我们在掌控自己的“人生之舵”时能够根据环境来随机应变，进而调整到最佳的方向。希望任何一个有“数学天才”或其他领域“科学天才”的人，都要深刻吸取农村数学家*清的教训，千万不要因自己“脱颖而出的一面”而让自己在人生之路上迷失了方向。关注教育，我们一起提高，四海兴家教永远与你同在！

林群在与学生交流。资料照片林群（右一）和吴文俊夫妇（右二、右三）合影。资料照片人物小传林群：1935年出生，福建连江人。中国科学院数学与系统科学研究院研究员、中国科学院院士。在计算数学，特别是微分方程的高性能解法方面，进行了长期深入研究。他热爱科普和教育事业，著有《画中漫游微积分》《微分方程与三角测量》《微积分快餐》等科普读物，被评为2019年十大科学传播人物。北京的冬天，空气中夹杂着些许寒意。一个下午，身着深灰色夹克，头戴白色帽子的林群缓缓向记者走来……因为前一阵子身体不适，他的身形比往日更显瘦削。“怎么让普通人学会微积分？就得用他熟悉的知识来讲。”到了办公室还没坐稳当，林群便从表面斑驳的黑色挎包里掏出一大摞资料，带记者走进微积分的世界……“学习也好，研究也好，一定要有刨根问底的决心”从1952年考入厦门大学数学系算起，林群已经在数学的海洋里摸爬滚打了69年。数学，在普通人看来，晦涩难懂、推理复杂，林群却说，“数学领域十分奇妙，你能从一行行公式和一串串数字中，找到乐趣与挑战”。读高中时，林群的数学老师常常用一节课中一半的时间讲公式定理，另一半时间讲数学家的故事。牛顿、柯西、黎曼……这些数学家的故事，让林群陷入了对数学的向往与着迷，“好老师，就是把书越讲越薄，而不是越讲越厚。”“我对数学的热爱，就是那个时候培养起来的。”1956年，厦门大学毕业的林群走入了中国科学院数学研究所的大门，进入了泛函分析和计算数学的研究领域。那时的数学所，聚集了华罗庚、关肇直、陈景润、吴文俊等一批著名的数学家。林群师从关肇直。那时，关肇直工作繁忙，林群就在快下班时，到老师办公室门口静静等候。“我曾经计算过，老先生从办公室走回家，大约有20分钟路程，和老先生这20分钟的交流，让我收获很多。”刚接触泛函分析，林群觉得十分抽象，他问关先生怎么办，关肇直回答得简单利落：“你试着按照平面几何的思路去想。”“在科学家身边，总能学到一些做学问的秘诀，这些秘诀书本上没有，课堂上也没有。”按照关老提示的思路，林群把泛函分析重新梳理了一遍，豁然开朗，“学习也好，研究也好，一定要有刨根问底的决心。”“每取得一个阶段性成功，就会化作下一次奋斗的动力”林群总说，自己所做的工作，与前辈相比不值一提，实际上，林群取得的研究成果，也解决了不少实际应用的难题。泛函分析中的相关算法，因为计算量大、操作难度大，一直以来都是数学界难啃的硬骨头之一。在老师关肇直的提示下，林群开始将有限元方法结合起来深入研究。“那段时间，就把自己关在一个小屋子里面，桌面上摆着厚厚的稿纸，用掉的钢笔墨水一瓶又一瓶，不分日夜、埋头计算。”林群回忆，有时候沿着一种计算方法不断前进，但是算到后来结果不对，这时候就会自我怀疑、自我否定……探索的过程，虽然艰辛、孤独，但林群最终得出结果，其间也收获了很多快乐。通过努力，林群最终找到了有限元的加速方法，即迭代伽辽金方法。同样的计算量，普通算法需要8个小时，采用迭代伽辽金方法只需1个小时。这一算法被广泛运用到核电站和堆石坝等项目的计算中，使计算速度大大提高。刚解完一个难题，另一个又摆在林群面前：有限元解能否通过外推，提高计算精度？经过日夜攻坚，林群联合四川大学吕涛、苏州大学沈树民，共同提出了有限元外推法，大幅提高了计算精度。“解100个未知数方程，计算量仅是不使用有限元外推法的百分之九。解1万个未知数方程，计算量是不使用有限元外推法的万分之九。”吕涛说，“有限元外推技术”1989年获得中国科学院自然科学奖一等奖。“这便是数学的魅力，刚翻过一座高峰，就会看到下一座；每取得一个阶段性成功，就会化作下一次奋斗的动力。”林群说，研究数学，有时候要试着“和自己较劲”，得出一种相对简便的算法后，要再问问自己“能不能算得更快一些、更准一些，还有没有别的算法”。“为青少年的成长出一份力，是我们义不容辞的责任”画漫画、开慕课、做直播、写博客……林群年逾八旬，新潮的玩意儿却样样精通。林群说，自己还有一个愿望，就是把晦涩难懂的微积分，通过科普等生动形象的方式，讲给更多中小学生听。1993年，林群当选为中科院院士；此后，他一头“扎”进了科普的世界里。“微积分向大众宣传，就得用大家懂的语言体系来做比喻。”林群说。上世纪90年代，林群随团旅游时参观一棵古树。导游说，古树年年都在长高，怎么测量树高？有人说把树砍倒了量，有人说爬到树上量。林群立刻想到了可由斜率求树高，而不必砍树或爬树。这不就是微积分的基本公式吗？回到房间，林群马上将这个故事写下来，并配上图画，在媒体上发表后，有好几本教科书用了这幅画。此后，林群就开始用图配文的方式来讲授数学知识。1999年，得知天文学家王绶琯倡议成立北京青少年科技俱乐部，林群第一时间在倡议书上签字。此后无论多忙，只要俱乐部有活动，他总会尽力腾出时间，赶来和孩子们见面。次数多了，孩子们亲切地叫他“微积分爷爷”。“为青少年的成长出一份力，是我们义不容辞的责任。”林群总是这么说。“这么大岁数了，搞科普没有名也没有利，干吗还坚持？”有人不解。“是不是科研搞不下去了才去搞科普？”有人误解。林群不为所动：“虽然我做的是很普通的科普工作，但是我实在放不下……”中科院成都计算所研究员张景中很是理解林群的坚持。早在1996年6月，张景中到北京参加会议。一天，他在吃早餐时恰好与林群同桌，“微积分的教学必须改革，要用简单明了的方式让它变得更容易理解，而不是让人心生畏惧……”两人越聊越投机，一南一北两位数学家由此开始了长达20多年的科普合作。近期他们正酝酿写一本名叫《微积分新讲》的教材，“这本书会出不同版本，供给不同年龄段的读者看。”张景中说，“我们平常都是通过邮件沟通，即便林群生病也没有中断。”“他呀，除了数学，其他事都不上心。”说起老伴林群，妻子冯荣书很无奈：“整天坐在那儿写写画画，难得看一会儿电视，不大一会儿眼睛闭上了，但手还在腿上比划不停……”“一定要把孩子们的兴趣搞起来。”林群说，“要做的事太多，我们只是做了一点点努力而已。”他希望，到90岁的时候，能让微积分普及到中小学生和家长，普及到各行各业。■记者手记始于热爱成于坚守林群是温和的：每当与孩子们在一起时，他总是露出孩童般的笑容；他又是坚定的：面对别人的不解甚至误解，他执着地前行在科普的路上。让初学者能理解和运用微积分，这是林群的初心与坚守。为了这个朴素的愿望，他不断探寻微积分的本源，不断优化科普传播方式，虽耄耋之年仍不断创新、奋斗不止。其心也诚，其志也坚，令人动容。树高叶茂，系于根深。科学素质的提升关系每个人的成长，也关乎国家民族的未来。期待有越来越多的同仁为科普事业的繁荣发展尽一份心力，共同创造新时代科学的春天。（记者 施芳）《人民日报 》（2021年01月14日第06版）【责任编辑：钟培培】来源： 人民日报

为加强我国数学科学研究，科技部、教育部、中科院、自然科学基金委共同制定了《关于加强数学科学研究工作方案》并于近日印发。恰在方案印发不久，中国队时隔四年再登国际数学奥林匹克竞赛冠军宝座。这两则消息同时传来，让“数学很重要”的呼声再一次引起人们关注。学好数学很重要，但数学研究却很枯燥，导致数学研究“偏冷”。然而，数学是一切科学的基础，数学实力往往影响着国家实力。近代以来，几乎所有重大科技发现都与数学的发展进步有关，数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。立足于持续稳定支持基础数学科学研究，要鼓励科研人员瞄准数学科学重大国际前沿问题和学科发展方向开展创新性研究，鼓励探索新思想、新理论和新方法，强化优秀人才培养，争取取得重大突破。在加强应用数学和数学的应用研究方面，应支持科研人员面向国家重大需求和国际前沿研究，面向制约核心产业发展的瓶颈问题，针对重点领域、重大工程、国防安全等国家重大战略需求中的关键数学问题开展研究。着眼于提升全民族数学水平，我们尤其需要告诉孩子们，学好数学不能仅仅是为了考更好的成绩、上更好的学校，而是要培养优秀的数学思维能力，进而强化数学研究，提升基础研究的源头创新力。对广大科研人员来说，既有躬耕数学科学研究的热情，又抱定“板凳坐得十年冷”的决心，久久为功，才能真正把数学科学研究搞好，为科技创新提供基础动力。

什么是数学？研究空间关系与数量关系的知识综合体就是数学。点，直线，射线，线段，三角形，正方形，长方形，平行四边形，圆形，梯形，多边形，正方体，长方体，球体，圆柱体，圆锥体，棱体…… 点线面体，由浅入深，逐渐研究空间关系。加减乘除，自然数，正数，负数，零，整数，分数，小数……通过数的分类与数的运算，研究数量关系。数学就是对世界的空间与数量的认知。坐标，空间关系数学又是什么？数学可以是一种思想，通过已知求索未知的思想，就好像在一加一等于二中，我们只要知道了两个数，那么就可以知道第三个数。未知是问号，已知是句号？数学可以是一个世界，一个存在于人的脑海，反映着现实世界的规律，现象变化等等的由公式数字符号组成的世界，这个世界是虚拟的，却也是真实的。虚拟是因为它并不是真实存在的，真实是因为里面的数据真实不虚，数据对于现实世界的规律现象变化等等的记载也是真实的。虚幻？真实？数学也可以是一个工具，一个帮助人看到更真实世界的工具。现实生活中存在着无穷无尽的变化，但是许多变化都是有一个规律所掌控着的，而数学就可以让我们看到这个规律。更真实的世界，更清晰的世界数学可以是思想，世界，工具，那它的本质又是什么呢？数学的本质就是量化，就是丈量。世界不知道有多大，也不知道有多小，为了知道它的大小，知道它更多的一切，人也就开始用自己的认知从单位（长度，面积，体积……）开始认知它。思考无止境，认知无止境什么是数学？研究空间关系与数量关系的知识综合体就是数学 。数学是什么？数学可以是一种思想，可以是一个世界，可以是一件工具。数学的本质是什么？数学的本质就是量化就是丈量，是一种开始，认知世界的开始。

科学技术是世界性的、时代性的，发展科学技术必须具有全球视野。当前，科技创新的重大突破和加快应用极有可能重塑全球经济结构，使产业和经济竞争的赛场发生转换。在十一大学科领域整体层面，美国最为活跃，研究前沿热度指数得分为 226.63 分，位居全球首位。中国以 151.29 分位居第二。英国和德国的研究前沿热度指数得分分别为 77.81 和 73.86，排名第三和第四名。中国，数学领域排名前三的前沿占比为50%，也就是说中国在数学领域一半的前沿排名前三。以数学领域为中间点，中国在下方五个领域超过一半的前沿排名前三。上方五个领域排名前三的前沿都低于一半。新浪VR知识星球报告库上万份报告，所有新浪VR报告都将由管理员上传（包含部分未在其他平台发布的非互联网相关报告）VIP用户福利不定时开启，前1000名还能领领优惠券性价比更高！ 新浪VR，早一天看见未来。

前一篇专栏“成绩差点没关系”中把教育目标分了三个层次，分别是基础知识，思维方法，实际应用，其中思维方法是我重点阐述的核心。接下来，我把数学思维方法从“数学思维方法研究的对象和内容”，“数学思维方法的产生，发展与层次性”，“数学思维方法与数学教育”三个方面作一个概述，科普，帮助大家对数学思维建立一个理性认识。数学思维方法研究的对象和内容数学思维方法研究人们从事数学活动时思维发生，发展的规律，以及这些思维规律所具有的方法论意义上的特征。由于数学思维方法的研究具有思维活动的心理学特征和思维科学的特征，因此它必将涉及和运用一些心理学，思维科学中的概念。具体的说，数学思维方法将把思维，数学思维，数学发展中的发现，发明与创新的思维过程作为自己的研究对象。一．思维与数学思维（一）思维数学思维是从属于一般思维的，要讨论研究数学思维，就必然涉及心理学与思维科学的研究成果。心理学给思维的定义是：思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。从思维科学研究的角度分析，思维是作为人的个体理性认识事物的表现，它通常可以分为抽象（逻辑）思维，形象思维和特异思维（包括灵感思维，特异感知思维等）。目前，有关思维科学的研究正在积极进行中。思维是一个复杂的心理过程，当客观事物作用于人脑时，人脑会对各种信息有一个分析，综合，比较，抽象，概况，系统化，具体化的过程。作为一种认识过程，思维是在感性认识基础上进行的理性认识，它属于认识过程的高级阶段。举个例子，在对三角形的认识中，感知只能认识到三角形的形状，颜色和大小，而思维则舍弃三角形的这些表象特征，概况出三角形都具有三个角，三条边和三角形内角和等于180度等共同的本质特征。1. 思维的特征（1）思维的方向性思维的方向性特征又称为目的性，探索性或问题性特征。所谓思维的方向性，是指思维在对事物的本质及其规律的寻找过程中，总是以解决问题作为方向，也就是说思维总是沿着解决问题的方向发展自己。问题在思维中起到一种激励作用，它是思维探索活动的动力，同时也是思维活动的路标和指南针。（2）思维的概括性思维的概括性特征是指思维不仅仅依赖当前的刺激和直接的感知，它还具有舍弃某些事物的表象而直接进行抽象概括的特征。即把同一类事物的共同的，本质的特征或事物间的规律性的联系，抽取出来加以概括。举个例子，人们通过对大小不同圆的圆周与其半径的推算，舍弃了圆的大小及半径的长短，抽象概括出一切圆的周长与半径之比都是一个常数。思维的概括性包含两层意思：第一，能把一类事物中的共性加以抽象概括；第二，能从部分事物的相互关系中抽象出普遍的或必然的联系，并把它推广到同类的现象中去。（3）思维的间接性。思维的间接性是指人们凭借已有的知识经验或以其他事物为媒介，间接地推 知事物过去的变化，认识事物现实的本质，预见事物未来的发展。在数学研究中，思维的间接性十分明显。因为数学本身就是一种非现实存在的理性构造，人们就是运用了间接性的思维特征，才从已有的数学成果中获得了新的理论。2.思维的分类根据不同的分类形式，思维有不同的表现形态。（1）根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维。动作思维是指以实际的动作为支柱的思维，也称为操作思维或实践思维。它的特点是直观的、在实际操作活动中产生和进行的。3岁前的儿童思维就以动作思维为主。形象思维是指用表象进行分析、综合、抽象、概括的过程。形象思维中的基本单位是表象，幼儿在3～6岁的思维多属于形象思维。成人的思维中也有形象思维的发生，特别是艺术家、作家、导演等更多地运用形象思维。数学家有时也借助形象思维来表述某些抽象的概念，当然，成人的形象思维与儿童的形象思维有本质的差异。抽象思维是运用概念、判断和推理的形式来反映事物本质的思维。这种思维是以概念为支柱进行的思维，人们把它看作是人类思维的核心形态，又称为理性思维。抽象思维的形式又有形式逻辑与辩证逻辑之分，两者既有区别又有联系。形式逻辑的概念具有抽象性和确定性，辩证逻辑的概念具有具体性和灵活性。数学作为一种形式逻辑思维的表述过程和构造形式，它在发生发展的过程中也具有辩证逻辑的形式。如微积分中极限概念的产生、发展和最后定义，就明显地表现出辩证逻辑思维的形式。（2）根据思维过程的指向不同，可以将思维分为集中思维和发散思维。集中思维又称求同思维，聚合思维或纵向思维。集中思维是指把问题的各种信息集中到一起求出一个共同的，单一的，确定的答案。如果某个问题只有一个正确答案，思维的过程就是要找出这个正确的答案。发散思维又称求异思维，分散思维或横向思维。发散思维是指思考问题时，从一个目标出发，沿着各种不同途径去思考，寻找各种可能的正确答案。这种思维无一定的方向和范围，不墨守成规，具有更大的主动性和创造性。科学家的发明创造，艺术家的艺术作品，理论家的新观点和新创见，多得益于发散思维的成果。（3）根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维。习惯性思维是指用惯常的方式，固定的模式解决问题的思维。这种思维较为普遍，人么总愿意用旧有的，习惯的方式去解决问题，可以不费太大的努力就得出答案。这种思维缺乏主动性，有时会产生错误的认识。创造性思维是指有主动性和创新性的思维，它没有固定的模式和方法，也不遵循已有的思路。创造性思维利用已有的信息独立思考，根据问题和情境创造性的探索答案。创造性思维往往是逻辑思维和非逻辑性思维的有机结合。（二）数学思维的概念与特征数学思维是人类思维的一种形式，具有思维的一般规律与特征。1. 数学思维的概念一般的说，数学思维就是数学活动中的思维。更确切的说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。可以认为，数学问题是推动数学发展的动力和方向，当然解决问题也正是数学思维要达到的目的。从本质上说，数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程，数学思维的能力也就是提出数学问题，解决数学问题的能力。数学问题解决的差异代表了不同的数学思维表现形式，解决不同的数学问题就形成了不同的数学思维规律。可以认为，数学问题对数学思维的启动，导向，展开都起着决定性的作用。注重数学问题在教学中的作用，有着十分重要的意义。从数学问题解决的角度分析，数学思维总是指向问题的分析，问题的变换和问题的最后解决。在这一点上可以认为数学思维与数学问题解决是密不可分的。我们还可以把数学思维简单的分为具体实践问题的数学化思维和具体数学问题的解题思维。前者是应用数学中数学家们要进行的数学思维，后者则是数学教育尤其是初等数学教育中常见的数学思维。下面举一个高中数学中具体数学问题解决的数学思维的一个例子，它表明了数学思维在数学问题解决中的变换。例 已知 a,b,m ∈R+,且a>b,求证：（a+m）/(b+m) < a/b解题思路（1）：由于待证式中的字母均为正数，容易看出，它等价于更简单的下述问题变换为： 已知a,b,m ∈R+,且a>b,求证：（a+m）b < (b+m)a解题思路（2）：待证式还等价于（a+m）/(b+m) - a/b < 0,因此它就变换为更加开放的下述问题变换为：已知a>b>0,且m>0,比较 （a+m）/(b+m)于 a/b的大小解题思路（3）由待证式（a+m）/(b+m) < a/b 的两边取倒数，则有(b+m)/(a+m)>b/a。故原问题又等价于下述问题变换为：已知a>b>0,且m>0, 求证(b+m)/(a+m)>b/a解题思路(4)若把待证式稍加变换为 （a+m）/(b+m) < (a+0)/(b+0), 则可更一般化的进一步变换成（a+x2）/(b+x2) < (a+x1)/(b+x1),其中a>b>0,x2>x1>=0，则原问题的较强命题就是下述问题变换为：已知a>b>0,，证明函数f(x)=(a+x)/(b+x)在[0,+∞）内是严格单调的减函数。它的证明较简单，只需在x2>x1》=0的情况下，验算f(x2)-f(x1)=（a+x2）/(b+x2)-（a+x1）/(b+x1)= -（a-b）(x2-x1)/(b+x2)(b+x1)<0即可。2. 数学思维的特征数学思维的特征重要表现在它的高度抽象性，形式化的严谨性和表现方式的多样性。数学思维的高度抽象性，是指在数学思维的过程中把思维对象的某些现实的属性舍弃，把思维的对象抽象化为一定的数量关系，空间形式或逻辑关系，然后再把这些特定的数学关系表示成为一般的符号形式。数学思维的抽象性，还指它不仅仅停留再一次抽象的基础上，通常的数学符号形式可能经过多次的抽象。有时由于数学问题本身就已经抽象化了，因此这种思维过程更属于高度抽象化的形式。于人类的所有思维形式相比，这种完全认为创造的符号化的数学语言，是数学思维高度抽象化的基础。数学思维形式化的严谨性，是指数学思维发生，发展和表述的过程，是一种形式化的严密过程。这种过程的逻辑性，严密性，准确性不容许又一丝差错，不允许有对与错之间的状态。正是数学思维的这种形式化的严谨性，使数学成为人类所有科学形式的最终表达手段。数学思维表现的多样性，是指在数学思维的过程中，尤其在解决具体数学问题时数学思维并不是严格的逻辑演绎，并不都是三段论式的证明形式，这些只是数学思维最后的表现形式。隐藏在这些抽象，严谨形式之下的是在数学思维中出现的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式。这种数学思维的多样性特征，不仅表现在数学家处理，解决数学问题的思维特征上，而且表现在普通人的数学思维活动中。现在数学教育理论的研究表明，数学思维的非逻辑演绎的多样化思维在中小学的数学活动中也是十分重要的，数学作为一种自由创新的学科，它的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式有时比逻辑演绎和公理化数学思维更重要。二．数学思维方法数学思维方法是由数学的符号，概念，语言，按照数学特定的规律，法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。数学思维方法具有一般科学的方法论的特征，当然作为特定的数学形式，它又有着自身的特殊形式。按照数学思维方法运用的领域，表现形式不同，可以将数学思维方法做如下几种形式的分类。（一）按照数学思维方法适用的范围不同，可以把它分为宏观思维方法和微观思维方法宏观数学思维方法，也称基本或重大的数学思维方法，是指对整个数学领域都产生重大影响的数学思维方法，如公理化思维方法，变量分析的思维方法等。这些思维方法曾极大地推动了整个数学的发展。当然这些思维方法又和哲学思想及科学思想的一般方法相联系。微观数学思维方法，是指对某个数学分支发挥作用或由某些数学家群体使用的数学思维方法，如代数的一些思维方法，几何学的一些思维方法等。微观数学思维方法中还包括数学问题解决或数学问题发现的一些具体的思维方法。（二）按照数学思维的逻辑形式不同，可以把它分为逻辑思维方法和非逻辑思维方法数学思维的逻辑思维方法，主要是指按照形式逻辑的方式展开数学思维的方法。数学的定理证明及理论构造都是严格按照形式逻辑的思维方式展开和构成的，可以说数学的结果都是按照形式逻辑来表现的。数学思维的非逻辑思维方法，是指在数学思维中运用的猜想，直觉，灵感，形象等思维方式。这些思维形式经常地，大量地出现在解决数学问题之中，在现代的数学教育理论中，人们越来越认识到非逻辑思维在数学学习和数学教育中的地位。（三）按照数学思维解决问题的方式不同，可以把它分为程式化思维方法和发现性思维方法数学的程式化思维方法，是指按照数学习惯的，原有的方式来解决问题。在数学学习和解决问题中这种方式表现为规范的逻辑演绎方式。数学的发现性思维方法，也可以称之为创新性思维方法。这种思维方式的特点是它不遵循程式化的逻辑演绎的数学思维方式，而选择带有个人特性，主观色彩，独立特性的思维方式。现代数学教育理论十分注重这种与传统数学思维相区别的发现式思维方式。（四）按照数学教育的阶段或数学分支领域的不同，可以将其分为不同的带有专业特征的思维方法如按数学分支的差异，我们可以分为几何思维方法，代数思维方法，微积分的思维方法，概率统计的思维方法等。尽管现代数学的发展使某些数学分支之间的界线有些模糊，但对于初等数学或一般高等数学阶段的学习而言，不同数学分支的数学思维方法都由起自身的明显特征。对初等数学的学习而言，集合对应的思维方法，公理化结构的思维方法，空间形式的思维方法，变量与函数的思维方法等都是具有初等数学特征的一些思维方法。对于小学数学教育而言，数学教师应当更加自觉的掌握和运用具有小学数学特征的思维方式，以便使自己的数学教学更符合小学的思维阶段性特征。（五）在学习某个数学分支的数学思维中，我们还可以把数学思维分成不同的思维方法这主要包括：建立数学概念的思维方法；解决数学问题的思维方法；论证表述数学命题的思维方法；构建数学理论体系的思维方法/在数学的发展历史中，笛卡尔创立解析几何的过程可以为我们学习，考察数学思维方法提供一个很好的例证。笛卡尔是人类文化史中的一位伟大学者，被公认为是接触的近代哲学家，是第一流的物理学家，是近代生物的奠基人，同时他还是解析几何的创立者之一（另一位是费马）。笛卡尔创立解析几何的思维方法，可以看作是数学中重大的思维方法。笛卡尔在创立解析几何时是这样思考的：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。这里的思维方式实际上代表了笛卡尔的哲学思想，尽管这种方法没有最终实现，但正是这种重大的与当时传统方法不同的思维方式，使笛卡尔创立了一种几何与代数相结合的道路。作为一种具体的思维方法，笛卡尔把代数与几何相结合，尤其在当时的历史背景中突出了代数的重要地位。它使当时的人们能够认识到，在几何形式上互不相关的问题，可以用代数的方法归为一类。线性代数中的二次型就是利用代数的方法讨论二次曲线，二次曲面的分类。同时，作为一种微观的数学思维方法，笛卡尔开创的代数与几何相结合的思维方式，已经成为我们今天解析几何教学中必须遵循的一种思维方法。例如，在解析几何中讨论空间坐标系，曲面上点的性质与坐标系中方程的关系时，都要明确指出：曲面上点的性质可用点的坐标x,y,z之间的关系式F(x,y,z)=0表示；同时每一个方程F(x,y,z)=0都表示空间的一个曲面。方程与曲面的一一对应的思维方式已经成为解析几何学习，研究和教学的一个基本的思维方式。

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学首次趣文根据克雷数学研究所官网消息。中国数学家，麻省理工学院教授张伟因其在算术几何、自守形式的算术方向的开创性贡献获得2019年度克雷数学研究奖。这是中国数学家首次获得该奖项。张伟，2000至2004年就读于北京大学数学科学学院并获理学学士学位，2009年获得哥伦比亚大学博士学位。现任麻省理工学院数学系教授。在此之前，曾获2010年SASTRA 拉马努金奖、2013年斯隆研究奖、2017年西蒙斯奖，并受邀于2018年在巴西里约热内卢举办的国际数学家大会上作邀请报告。此次奖项由克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)颁发。克雷数学研究所是非盈利私营机构，总部在美国马萨诸塞州剑桥市。机构的目的在于促进和传播数学知识。它给予有潜质的数学家各种奖项和资助。而一年一度的克雷数学研究奖已经成为数学界的重要奖项。克雷数学研究所最为人熟知是它在2000年5月24日公布的七大奖难题，俗称千禧年问题。这七道问题被研究所认为是重要的经典问题，包括黎曼猜想、P/NP问题、庞加莱猜想等数学界最关注的问题。解答任何一题的第一个人将获颁予一百万美元奖金。目前仅有庞加莱猜想被解决。关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文