数形结合课题研究

一、研究背景：数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学,数是形的抽象概括,形是数的直观表现.华罗庚先生指出,数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合在数学解题中有重要的指导意义,这种“数”与“形”的信息转换,相互渗透,即数量问题和图象性质是可以相互转化的,这不仅可以使一些题目的解决简捷明快,同时还可以大大开拓我们的解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径.长期以来,在教学中数学知识是一条明线,得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线,容易被教师所忽视.在我们的小学数学教学中,如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力.“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说是一种学习方法,如果长期渗透,运用恰当,则使学生形成良好的数学意识和思想,长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中.作为一线教师,如何系统的运用数形结合思想进行数学教学,是我们面临的一个极富实践价值的重要课题.二、研究价值：1、通过组织、实施本课题的研究,提高教师对数形结合思想的理解,加深对教材中数形结合思想的分析能力.能在平时的教学中,时刻注意渗透数形结合思想,提升教师自身的专业素养.2、通过组织、实施本课题的研究,提升学生的思维水平,提高学生应用数形结合思想解决实际问题的能力,以适应未来社会发展的需要.三、研究目标： 1、教师有意识地运用数形结合思想进行教学设计,化抽象为形象,创造性地开发课程资源,有效地提高课堂教学质量. 2、研究“数形结合”在小学数学四至六年级领域中的应用,分阶段、有层次的渗透数形结合思想. 3、通过“数形结合”有效地提高学生学习数学的兴趣,使数形结合成为学生重要的学习方法,能运用数形结合创造性地解决抽象的数学问题.在不断地“探索”与“创造”中构建属于个人的数学思想.四、概念界定：1、数形结合：“数”和“形”是数学中两个最基本的概念,“数”,属于数学抽象思维范畴,是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形,属于形象思维范畴,是人的右脑思维的产物.它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,化难为易,化抽象为直观．使人充分运用左、右脑的思维功能,相互依存、彼此激发,全面、协调、深入发展人的思维能力.2、数形结合思想：所谓数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法.主要有以下几种解题思路：（1）以“数”变“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变.3.“渗透”指某种思想方法在某个实践过程中逐渐的渗入利用,这里主要指在小学数学课堂教学中逐步渗透数形结合思想方法.五、研究内容：1、数形结合思想在“数与代数”知识领域中的应用.2、数形结合思想在“空间与图形”知识领域中的应用.3、数形结合思想在“统计与概率”知识领域中的应用.4、数形结合思想在“实践与综合运用”知识领域中的应用.六、研究思路：1、学习查找相关理论资料；2、开始分年级教师进行具体研究；3、在具体的实践中进一步完善研究内容和研究措施；4、最后对研究效果进行提升,形成课题成果报告.七、研究方法：1.调查法：调查当前小学数学教师对数形结合思想在教学中渗透的认识,调查当前学生对数形结合思想来解题的认识状态.2、文献研究法：收集、学习、整理有关渗透数学思想方法以及数形结合思想的相关文献资料并加以分析,以供实验研究.3、案例研究法：选择不同领域的教学内容（数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用）中的素材,作为案例进行分析研究,寻求在不同数学学习领域中有效渗透数形结合思想的途径与模式.4、经验总结法：把实验过程中积累的经验加以总结、归纳并在实验过程中加以论证.

文献综述格式文献综述格式与般研究性论文格式所同研究性论文注重研究结文献综述要求向读者介绍与主题关详细资料、态、进展、展望及面评述文献综述格式相总说般都包含具体格式：综述题目；作者单位；摘要；关键词；引言；文；总结；参考文献() 题目题目限20字内（包括副标题)能够准确反映文章主要内容(二) 摘要关键词摘要限200字内摘要要具独立性自含性应现图表、冗公式非公知符号、缩略语摘要须给3-5关键词间应用号；隔(三) 引言部引言部主要说明写作目介绍关概念、定义及综述范围扼要说明关主题研究现状或争论焦点使读者全文要叙述问题初步轮廓综述引言（或者导言、介绍）部要写清内容：(1)首先要说明写作目定义综述主题、问题研究领域(2)指关综述主题已发表文献总体趋势阐述关概念定义(3)规定综述范围、包括专题涉及科范围间范围必须声明引用文献起止份解释、析比较文献及组织综述序准则(4)扼要说明关问题现况或争论焦点引所写综述核主题广读者关兴趣写作综述主线(四)主题部主题部综述主体其写没固定格式按文献发表代顺序综述按同问题进行综述按同观点进行比较综述管用种格式综述都要所搜集文献资料归纳、整理及析比较阐明引言部所确立综述主题历史背景、现状发展向及些问题评述主题部应特别注意代表性强、具科性创造性文献引用评述主题内容根据综述类型灵选择结构安排主题层标题应简短明15字限用标点符号其层划及编号律使用阿拉伯数字级编号（含引言部）般用两级第三级用圆括号（）间加数字形式标识插图应精选具自明性勿与文文字表格重复插图应注明图序图名表格应精设计结构简洁便于操作并具自明性内容勿与文、插图重复表格应采用三线表适加注辅助线能用斜线竖线表格应注明表序表名(五) 总结部总结部与研究性论文结些类似全文主题进行扼要总结与前言部呼应指现研究主要研究优缺点或知识差距若作者所综述主题已经所研究能提自见解(六)参考文献参考文献虽放文末却文献综述重要组部仅表示引用文献作者尊重及引用文献依据且读者深入探讨关问题提供文献查找线索应认真待参考文献编排应条目清楚查找便内容准确误参考文献应限于作者直接阅读、主要、发表式版物文献要求少于30篇 ．文献综述引言包括撰写文献范围、文标题及基本内容提要；二．文献综述文包括课题研究历史 (寻求研究问题发展历程)、现状、基本内容 (寻求认识进步) 研究析(寻求研究借鉴)已解决问题尚存问题重点、详尽阐述前影响及发展趋势便于解该课题研究起点切入点三．文献综述结论概括指自该课题研究意见存同意见待解决问题四．文献综述附录列参考文献说明文献综述所依据资料增加综述信度便于读者进步检索格式排版说明：1. 文献综述做word格式文档打印（A4纸）2. 标题　四号字　居3. 作者信息　五号　居4. 摘要　五号字　行距1.5倍5. 关键词　五号　左齐6. 文　五号字　段落书字 行距1.5倍7. 参考文献　五号字　左齐　行距1.5倍8. 注释　五号字　左齐　行距1.5倍9. 参考文献序号　（1）、（2）……形式进行标注10.注释序号　右标①、②……形式录入参考文献①、②……形式进行序号标注

高中数学研究性学习课题集锦 一、课本知识延伸型 1、空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的 各类问题。 2、整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型） 。 3、求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出 现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如 配方法、带余除法等） 。 4、 总结求函数值域的有关方法， 探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。 5、利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。 6、回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层 函数的符号） ，我们称之为“给函数更衣” ，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行 演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。 7、探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这 种方程的类型。 8、在原点有定义的奇函数，其隐含条件是 f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。 9、把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一 事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？ 10、对于含参数的方程（不等式） ，若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数 思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。 11、 改变含参数的方程 （不等式） 的主元与参数的地位进行命题的演变。 探索换主元的功能。 12、数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘， 试探它在解决三角问题中的数形结合功能。 13、整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。 14、一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。 15、三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化， 即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。 16、一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑 其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法” ，试整 理常见的类型的补集法。 17、概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。 18、观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。 19、探求一些著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深 对不等式的理解。 20、整理常用的一些代换（三角代换、均值代换等） ，探索它在命题转化中的功能。 21、考虑均值不等式的变换，及改变之后的不等式的背景意义。 22、分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换， 将分母为多项式的转化为单项式。 23、关于数学知识在物理上的应用探索 24、对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两 点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题， 试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。 25、我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的 行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。 26、 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材， 如用点斜式而忽视斜 率存在，截距式而忽视截距为零等。 27、 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变， 达到以点带面， 触类旁通的目的。 28、研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。 29、关于斜率为 1 的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题 策略。 30、解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲 线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。 31、整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化” ，进而研究其“纯代数解法” ，从中探索 新方法。 32、把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦”问题。 33、在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想” ， 扩大这思想在解几中的地位或功能。 34、与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种 方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。 35、平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简 单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问 题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。 36、用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中 的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。 37、 作为降维处理的一个例子： 可考虑异面直线距离的几种转化， 如转化为线面距、 点线距、 面面距等。 38、异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观 点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。 39、立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。 于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。 40、等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们 所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的 相应方法探索之。 二、生活应用型（需要学生自己动手去有关部门搜集和整理原始资料） 1、银行存款利息和利税的调查 2、购房贷款决策问题 3、有关房子粉刷的预算 4、关于数学知识在物理上的应用探索 5、投资人寿保险和投资银行的分析比较 6、编程中的优化算法问题 7、余弦定理在日常生活中的应用 8、证券投资中的数学 9、环境规划与数学 10、如何计算一份试卷的难度与区分度 11、中国体育彩票中的数学问题 12、 “开放型题”及其思维对策 13、中国电脑福利彩票中的数学问题 14、城镇/农村饮食构成及优化设计 15、如何安置军事侦察卫星 16、如何存款最合算 17、哪家超市最便宜 18、数学中的黄金分割 29、通讯网络收费调查统计 20、数学中的最优化问题 21、水库的来水量如何计算 22、计算器对运算能力影响 23、统计铜陵市月降水量 24、出租车车费的合理定价 25、购房贷款决策问题 26、设计未来的中学数学课堂 27、电视机荧屏曲线的拟合函数的分析 28、用计算机软件编制数学游戏 29、制作一个数学的练习与检查反馈软件 30、制作较为复杂的数据统计表格与分析软件 31、制作一个中学生数学网站 32、如何计算一份试卷的难度与区分度 33、多媒体辅助教学在数学教学中的作用调查 34、零件供应站(最省问题) 35、拍照取景角最大问题 36、当地耕地而积的变化情况，预测今后的耕地而积 37、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？ 38、如何提高数学课堂效率 39、数学的发展历史 40、“开放型题”及其思维对策 嘿嘿，我把我做过的研学课题和你说一下吧。多米诺骨牌的轨道设计

你说的“两数”，是两个什么数，是~~两个对数吗？对数函数 【知识导航】 1、解与对数函数有关的综合问题时，要注意对其定义域及底数的讨论。 2、比较两个对数的大小，根据是对数的单调性，若不是同底的对数，可过渡为同底对数再作比较。 3、判断复合函数的单调性，依据复合函数单调性的判定方法，遵循减(增)加减(增)为增，减(增)加增(减)为减的原则. 4、注意对数换底公式的运用，先换成以已知对数的底为底的对数，然后是数字的折凑技巧。既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”。 5、有些超越方程直接求解的个数有困难，通常可借助于对数函数的图象、性质、数形结合的思想来考虑。 【典型例题】 〔例1〕若函数
的定义域为R，求实数a的取值范围. 解：函数
的定义域为R， 即
恒成立， 此时不等式左边若不是二次函数， 即a=0时，显然
不能恒成立. 因此，左边一定是二次函数， 即a＞0且Δ＜0，进而可求得a的取值范围为
解得：
【思路剖析】解综合问题时，要注意对数函数的定义域及底数的讨论。已知定义域为全体实数，是在
的情况下恒成立，即该一元二次不等式的解为全体实数，特别注意，a≠0.当a＝0时
对x来说是有限制范围的，并根据二次函数图象判定条件为：a＞0且Δ＜0. 〔例2〕比较
两数的大小. 解一：考查对数函数
，根据对数函数的性质，引入中间量
.
解二：引入中间量
（解题过程略，同学们自己练习）. 【思路剖析】(1)是利用对数函数的增减性比较两个数的大小的，对底数与1的大小关系来明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，要讨论a＞1和0＜a＜1两种情况.对于
的两个对数的大小比较，可以架起两座桥梁，沟通这二数的大小关系.这两个新数是
(2)对于(2)就不能直接利用对数函数的增减性比较大小，这时可在两个数中间插入一个已知数(如1或0等)间接比较上述两个对数的大小. 〔例3〕已知
是奇函数 （1）求m的值； （2）根据（1）的结果，判断
在
上的单调性，并加以证明； 解：（1）由
得
对一切实数x都成立 ∴
检验知
（2）设
,并设任意的
，则
所以，g(x)在
上是减函数。 从而a>1时，
，f(x)在
上是减函数；0【思路剖析】判断对数函数的单调性，通常是对复合函数的单调性进行判断。判断复合函数的单调性，遵循减(增)加减(增)为增，减(增)加增(减)为减的原则.因此，判断对数函数的单调性，不仅要对真数的增减性进行研究，还要对底数分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论。 〔例4〕(1)求满足等式lnN·logaN=lna的实数N；(2)已知log1227=a,求log616. 解：(1)显然lnN≠0，
【思路剖析】对(1)理解lnN的含义是lnN＝logeN，且lnN≠0，注a≠0，
有意义.（2）注意对数换底公式的运用，先换成以已知对数的底为底的对数，然后是数字的折凑技巧，即12＝3×4，27＝33. 〔例5〕方程log2(x+2)=
(a＞0，且a≠1)的实数解有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解：令y1=log2(x+2), y2=
分别画出两个函数图象，如图，显然y1与y2有一个交点，故选B. 【思路剖析】此方程属于超越方程，没有其直接解法，利用数形结合可从图象上观察到两个图象交点的个数，从而推出这个方程解的个数，关键是较准确作出y1＝log2（x＋2）与y2＝
的图象. 【巩固练习】 设
，构造一个定义在实数集上的奇函数
，使得当
时，
， （1）求函数
的表达式，并作出
的草图（2）作出函数
的草图； 参考答案 解：（1）x>0时，g(x)=log2x，设x<0，则
x>0,g(
x)=log2(
x) 又因为g(x)是奇函数，所以
g(x)=log2(
x)，即有g(x)=
log2(
x)，所以
，其草图如图1

1、重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用，以形成并丰富数学知识组块。2、强调数形结合，发展几何思维与类几何思维。 3、重视整体分析，提倡块状思维。4、鼓励大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯。 其实，我认为没有万能的教学法，任何有益的方法都只对那些有学习积极性而苦于学习方法不好，特别缺乏思维方法的学生才起作用。数学是一门思维学科，在我们目前的数学教育中，如何设计、渗透数学的灵感教育是一项重要的改革，我们要以培养学生的创造性思维为主，把传授知识和训练思维能力统一起来，培养适应社会需求的创造性人才。

学教育家波利亚说过：数学教师的首要责任是尽其一切可能，来发展学生解决问题的能力。而我们过去的数学教学往往比较重视解决书上的数学问题，学生一遇到实际问题就显得不知所措。因此， 作为起主导作用的数学教师，在课堂教学中积极有效地引发学生进行数学思考，促进学生问题解决的能力提高是非常重要的。怎样才能做到这一点,具体可以从以下几个方面展开。一、培养学生良好的学习习惯，提高学生数学思维能力学习习惯是指学习活动中形成的固定态度和行为。多年的教育实践使我们深刻认识到，良好的学习习惯，是学习知识、培养能力、发展智力的重要条件。学习习惯不仅直接影响学生当前的学习，而且对今后的学习乃至工作都会产生重大影响。因此，培养学生良好的学习习惯是教师的一项重要任务。作为小学数学教师，对学生不仅要教，而且要导，不仅要教数学知识，而且要教如何学数学知识。授之以鱼,更授之以渔 如何教给学生科学的学习方法，培养良好的学习习惯。要做到几点，. 会听、会看、会想、会说，培养学生积极动脑，认真听讲的习惯。会听：听而不闻，等于没听。学生听讲时要边听边想边记忆，抓住要点。不仅要认真听老师的讲解，还要认真听同学们的发言，并能听出别人发言中的问题。会看：主要是培养学生的观察能力和观察习惯。首先要给学生观察权，不要以教师好心的讲取代学生的看。凡是学生通过自己看、想，就能掌握的东西，教师一定不讲或少讲。会想：会想，首先要肯想。课堂上要学生肯动脑子想问题，除了靠教师教学的启发性外，还要靠促，促使他动脑子。要求学生，老师每发一问，人人都要立即思考，准备回答。会说：听、看、想，要通过说这一点来突破。语言是思维的结果，要说就得去想。课堂上抓住要学生尽量多说这一环，就能促进学生多想；要会想，想得出，想得好，就得认真听，细心看。抓了会说，就能促进其它三会。只有育好的学习习惯才能提高学生的思维能力。二、培养学生良好的反思习惯 ，提高学生数学思维能力我们在教学中常有这样的困惑：教师提出一个问题，往往只有为数不多的同学踊跃回答，其他同学经常保持缄默，或者是人云亦云，对学习内容知其然而不知其所以然。有时教师教学中设计了许多问题，在教学中遇到阻碍时，教师为了完成教学进度，也就告诉学生答案或不了了之，放弃了引导学生思考的机会。出现上述情况的原因是多方面的，但有一点我认为就是学生缺乏必要的反思，主要表现在学生没有反思的意识或不知道如何反思，以致很多学生没有找到适合自己的学习方法；学生没有时间进行反思；教师注重了自身的反思，忽视了对学生反思能力的培养。新课程理念倡导把课堂还给学生，让每个学生都成为学习的主人，关键就是让学生学会学习，学会思考，尤其是学会反思。反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是同化，是探索，是发现，是再创造。因此教师在教学过程中注重自身反思的同时，要促使学生养成反思的习惯，让学生在反思中学习，在反思中提高。三、培养学生解决问题的方法，提高学生数学思维能力1、重视知识迁移，拓宽思维　学生在学习过程中，某些旧知识是新知识的基础，新知识又是旧知识的延伸和发展。应用迁移规律，在获得新知识中发展思维。可通过有关知识链的关系进行迁移，形成良好的认知网络。例：某工厂要生产一批机器，原计划每天生产75台，20天完成，实际每天生产的台数比原计划每天生产的台数多1/3，几天可以完成这批生产任务？可引导学生用分数解、方程解、反比例解、归一法、工程问题解。此外，还有其他多种解法。充分运用知识迁移规律，一题多解。可以拓宽思路，发展智力，培养能力。2、让学生多探，培养一题多解的能力一题多解训练，就是引导和启发学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。3、让学生多拓培养一题多变的能力一题多变是由一道原始题目从题设条件的变换、数据改变、内容拓展、设问的转化、习题类比化等角度进行演变,是对知识的巩固和升华,使原有知识在具体的应用中得到加强并延伸。4、让学生多比----培养学生联想能力在解决问题的过程中，让学生进行合情推理，自己探索数学规律，发现数学结论，真正成为学习的主体。

　要让孩子、学生学好数学，请您记住这四句顺口溜：调动兴趣是关键，数学基础要打牢，思维训练要做好，习惯、坚持很重要。　　　　第一部分：调动兴趣是关键　　因为我喜欢数学，所以我愿意去学它，所以我在学习过程中遇到任何艰难险阻也愿意去克服；克服困难所得来的成功体验又增强了我学习的兴趣和信心，所以我更喜欢学数学了。　　一个很简单的正循环摆在我们面前，所以说，学好数学，调动孩子的兴趣是关键。调动兴趣的方法有：　　　　1.亲其师，信其道。　　这是亘古不变的真理。不管是老师还是家长，怎样才能做到这一点？　　1）展示能力，让孩子佩服。比如可以在孩子面前秀自己知识渊博、计算和解题能力很强等，孩子们个个佩服地一塌糊涂。　　校信通在做优秀大学生数学学习规律调查中也发现，很多学生喜欢某一个老师，甚至是因为老师随手就可以画出很标准的圆、椭圆。　　2）展示人格魅力，让孩子敬服。　　教育者人格中很突出的一点或几点魅力很容易感染到孩子，比如幽默、严谨等等。一般来说，一位老师要储备至少200—300条笑话，便于在课堂上让学生轻松快乐学习。也有很多孩子喜欢老师的理由是：“她认真负责到家了，天天都有新花样，辩论会什么的，干啥啥行！”　　3）用心关爱孩子。　　如果想让所有孩子都喜欢您，那就平等对待他们吧！课堂上，如果有成绩不好的学生举手发言，明知他会回答地一塌糊涂，也要鼓励和支持他。　　如果您想改变某个孩子的话，那就去“偏爱”他吧！“我喜欢这位老师，是因为她待我象待自己的妹妹一样。”“有一次我数学考砸了，老师在我的作业本里夹了一张纸条，问我是不是有什么心事？我感动极了！”　　当然，家长也要积极引导孩子喜欢老师。比如通过和孩子讨论老师的授课方式、性格特点等，引导孩子关注老师的闪光点，发现老师值得自己学习的思考方法、习惯和品质等。　　　　2.化抽象为生动。　　比如在讲例题的时候，结合题目给学生讲一些顺口溜、数学故事、数学发展史、生活中的数学等。让学生感到数学就在身边。比如华罗庚的数形结合顺口溜“数与形，本相依，焉能分作两边飞。数缺形时，难直觉；形缺数时，难入微。代数几何本一体，永远联系莫分离。”生活中的数学包括身边的事、新闻时事等，比如：让学生适度参与现在很多父母都热衷的股票问题；自己家里每月消费多少米，多少油，多少盐等，人均消费多少；今年淮河流域出现洪灾，泄洪时就需要考虑上游水位和下游河道宽的关系等等。　　此外，还可以利用游戏和活动情景激发学生的学习兴趣。比如《日历中的方程》、数学专题黑板报等。　　　　3.化抽象为形象。　　现在的学生大都对电脑感兴趣，如果从这一点入手引导学生学数学，是个很好的办法。郑州一所重点中学的刘老师用几何画板让学生形象直观的体会数学知识，学生在学几何画板的同时，学数学的积极性也被调动起来了。　　4.成功体验的积累。　　兴趣与成就感往往有很大关系。每个孩子都有想成为研究者、发现者的内在愿望，都有被认同和赏识的需要，都希望取得成就和进步。教育者应该善于发现学生的一点点进步，给不同学生提不同的要求，让他们有机会成功，体会成功时的成就感。　　具体做法有：给孩子讲题时不要一下子把思路都讲完，要以提问的方式引导孩子独立思考，或讲一半，留一半让孩子自己思考。如果孩子没有能力思考下一半，至少要让孩子独立思考到下一步。当然，家长还要适时给予言语鼓励，一方面增强孩子的自信心，并让孩子体会独立解决问题的成功感，另一方面，家长也会在鼓励孩子的过程中改进对孩子的认识，培养孩子对同一问题深刻思考的能力和习惯。　　小贴士：成功记录本　　也可以鼓励孩子专门准备一个笔记本，写自己的成功记录。错题本很重要，但只有错题本，孩子就只能多关注自己的失败经验，用成功记录本记录自己做出某一道对自己来说比较难的题目的过程，记录下今天对比昨天的点滴进步，增强成就感，增加学习兴趣。　　　　5.营造学数学的环境。　　比如家里的书架上可以放一些数学相关的书籍如《速算秘诀》《中学生数理化》《好玩的数学系列》《训练思考能力的数学书》《故事中的数学》等，并推荐孩子阅读。学校里也可以营造这样的氛围。有位老师说：“我每天课间时间都会坐在教室门口，拿起一本书来看。总会有几个学生来问我看的是什么书，一问一答之间他们就对我手里的书感兴趣了。几天后我就会发现，有一两个学生带头借了这本书。再过一阵子，这本书就风靡全班了。”　　第二部分：数学基础要打牢　　没有牢固的地基，哪来的高楼大厦？有很多孩子看似粗心而做错的题目，经仔细分析都是由于基础知识不牢固所造成的。比如有的孩子会说：“我就是分不清这两个公式了，考试时用错了。”其实如果这个孩子不仅仅是记住公式，而是会推导的话，考场上现场推导也是可以避免这个问题的。另一方面，孩子有必要掌握、识记一些最基本的知识，也可以说是最基本的工具，比如30以内的自然数的平方，1-9的立方分别是多少等。　　　　打牢基础也可以通过做题来实现，这跟题海战术不同，有的学生可能做两道题就弄懂了，那他就不需要再做，有的学生可能需要做20道题，总之，为了达到最好的理解和记忆效果，让学生自己理解知识点之后，再多做1-2道题，达到150%的理解和记忆效果。　　打好基础的五步学习法：　　A.做好课前预习，掌握听课主动权。凡事预则立，不预则废。　　B.专心听讲，做好课堂笔记。听课要提前进入状态。课前准备的好坏，直接影响听课的效果。　　C.及时复习，把知识转化为技能。复习是学习过程的重要环节。复习要有计划，既要及时复习当天功课，又要及时进行阶段复习。即将上周，上月，本学期所学内容复习、思考、归纳总结。最好能够利用寒暑假将上学年或本学段以往的内容全部复习巩固。在现阶段的学习中涉及以往不十分清楚的内容，最好及时查阅核实。对数学成绩不是特别突出的学生，一般缺乏学好数学的信心，如果这样坚持2到3年，可以逐步在日常作业和课堂表现中，表现突出，学好数学的自信就逐步树立起来，数学成绩自然会好起来。　　D.认真完成作业，形成技能技巧，提高分析解决问题的能力。教育权威杨乐院士在回答中学生如何学好数学的问题时，就是很简短的三句话：一是在理解的基础上多实践，二是在理解的基础上多积累，三是循序渐进。这里所说的实践，就是做题，就是完成作业。这里所说的实践，一方面是做题，完成作业并对错题进一步反思，彻底思考清楚，找同类题做3到5题，达到彻底掌握和巩固提高，另一方面，结合自己的生活体验，用所学知识分析、解释生活中的一些问题。　　　　E.及时进行小结，把所学知识条理化、系统化。学完一个课题或是一个章节，就要及时进行小结。每一环节的落实程度如何，都直接关系到下一环节的进展和效果。一定要先预习后听讲，先复习后作业，经常进行阶段小结。　　每天放学回家，应该先复习当天功课，次完成当天作业，后预习第二天功课。这三件事，一件也不能少，否则就不能保证第二天有高质量的听课效果。　　掌握以上学习方法，可以培养孩子学习数学的基本能力和习惯，如数学思维能力、口算能力等。现在很多学生做不到这几点。如果每一位学生都能在晚上回家后，睡觉前，脑子里过一遍电影，今天我都学了什么？复习时也采用这种方法，回想一门课有多少章节？每小节有多少知识点？每个知识点有什么例题？学起来就很系统、很有效。　　小贴士1：巧用错题本　　引导孩子认真对待老师的小节和讲解的习题，尤其是自己做错的习题，必须反复思考，并另外找同类体再做3到5题，以达到对没有很好掌握的知识的充分理解和掌握，做好能够思考老师将的解题思路和方法自己为什么没有想到，今后如何才可以想到，考虑此类问题常用什么方法。　　　　另外，经常借阅同学们的错题本，也很有必要。借阅时注意：　　第一，借阅比自己水平高的同学的错题本，这样便于丰富、拓宽自己的知识领域。　　第二，看比自己水平较低的同学的错题本，便于经常给自己敲响警钟。　　借阅同时,要做好自己的读书笔记,便于自己平时参阅。在开始阶段至少一周要有两次重现阅读，过两周后可一周，这样循序渐进。此方法可运用于其他各个学科。　　小贴士2：打破沙锅与温故知新的执着　　有很多孩子有这样的习惯，如果某个知识点或某道题难住了自己，就把它搁置了，慢慢地，搁置的问题越来越多，就积重难返了。所以，不会的问题如果能当即解决最好，如果条件不允许，那一定要记下来，以后务必解决。解决的方法可以有查资料、请教他人等等。　　另一方面，对已经解决的问题和一些重要知识点也要定期复习，复习时一定要思考：按照现在所掌握的知识和技能来看，这道题有没有更好的方法？做到常做常新。　　第三部分：思维训练要做好　　1.一题多解，锻炼孩子的变式思维　　培养学生的变式思维，就要让学生敢于创新、习惯创新。老师可以在讲课过程中故意出错，让学生来思考、矫正，这样上课时学生就不会处于被动接受的状态，而始终处于主动思考的状态：老师讲得对不对？还有没有其他方法？此外，老师还可以采用以下方法：一节课只讲一道题，一题多解，方法越来越好；一道题今天讲，明天再讲，常讲常新。一方面，让学生充分感受到数学的乐趣，另一方面可以培养学生变式思维的意识和能力，这种意识和能力对孩子将来的人生发展都大有裨益。　　　　变式思维中，对称思想是很重要的一种。对称思想往往可以解决很多问题。举个现实生活中的例子来说，日本一个生产味精的企业有段时间利润一直上不去，就召开了一个公司内部的研讨会。会上大家拿出了很多方法，比如降低成本等等，但因效果不明显，都没有被采用。后来进行消费者调研时，有个家庭主妇说，味精都是瓶装的，上面有很多小眼儿，可以增大小眼儿，这样做饭时大家就用得多了，用得多了，销售量就上去了。这条建议被采纳并且实施，果然效果很好。其实员工是从生产的源头来考虑问题，而家庭主妇是从消费一方来考虑问题，这就是思维的对称性。　　学数学的过程中，一道题从已知走向结果、从结果走向已知也都体现了思维的对称性。有道很经典的题目：1/2+1/4+1/8+…+1/256。可以从前往后算，1/2+1/4=3/4，3/4+1/8=7/8……，发现规律后就会知道，最后答案等于255/256，也可以在式子最后加一个1/256（这也是构造思想的体现），从后往前算，得出得数1，然后再减去多余的1/256。这都是思维对称性的体现。　　2.一解多题，锻炼归纳思维　　每个学段所用到的数学方法其实就几种。可以经常采用一解多题的方法来指导学生弄通某一种数学方法，比如这节课就只讲方程思想，下节课讲另一个专题。　　　　3.用发展的眼光给学生讲题　　也就是说，要用发展的眼光给学生讲题，还是这道老题：1/2+1/4+1/8+…+1/256。可以鼓励学生用通分的方法来做，在做的过程中，延伸到等差、等比数列等高中才学到的知识点。孩子以后会学得轻松。　　4.互相讲解，碰撞思维的火花　　有个学生说：“我的数学学习成绩是讲题讲出来的。因为我有耐心、脾气好，所以很多同学都会向我讨教问题，讲解的过程中，我逐渐发现，自己的知识巩固了，思维能力提高了。”另外，与水平相近或比自己水平稍高的同学争论自己掌握的或未掌握的知识也是非常重要的，也往往会达到事半功倍的效果，甚至通过争论而学到的知识理解深刻，终身难忘。　　第四部分：习惯、坚持很重要　　好习惯成就人生，数学学习也是如此，上面所说的五步学习法也是一种很好的学习习惯，除此以外，孩子还需要养成如下学习习惯：　　认真审题。有数学名师如是说：一道题的深度是有限的，你想得多，你写得就少，就快；你想得少，你就写得多而繁杂。匆匆读完题就开始做很容易出错，建议学生最好在平时就养成做题之前认真读题的习惯，如果学生比较马虎，可以建议他认真读三遍，思考一下已知条件和思路，再做题。练习次数多了，就慢慢养成认真审题的习惯了。　　　　认真检查。这也是很多老师嘱咐学生的方法，做完题后先大致看一下，这个结果是否符合常规（主要是生活经验和常识），如果时间宽裕，可以用不同方法验算一下，看看结果是否正确。如果时间有限，就按照原有思路进行检查。当然，一道题的每一个小小的计算步骤也可以通过正着算、倒着算的方法检查。　　有问题，必解决。遇到问题和困惑，就一定要想办法通过查资料等方式解决，这是学任何一门课程，乃至成就整个人生都需要具备的习惯。　　小贴士：认真对待草稿纸　　有位学生向我们讲述了他的经验：“我考试因为马虎出错的很少很少，因为我养成了认真对待草稿纸的习惯。我演算的时候写的字都是很工整认真的，工整的字无形中给了我更加认真细心的态度；而且我还把稿纸划了片，这一片写这部分题目的演算过程，那一片写那部分题目的，这样演算时、检查时都不会出错。”

小学数学课题研究最佳题目数学核心素养下农村小学高年级学生运算能力培养的研究小学数学大班额背景下小组合作学习的有效性研究小学数学教学中培养学生动手实践能力及其评价方式的研究以“智慧放手”的教学特色培养小学生合作学习能力的研究基于核心素养下的小学低年级数学评价模式研究小学生空间观念和几何直观的培养与评价研究核心素养背景下小学数学整理和复习课的研究优化小学数学课堂教学方式的实践研究基于读懂学生错误培养学生反思能力的实践研究依托综合与实践活动教学提升小学生数学素养的研究在小学数学“数与代数”领域开展游戏化教学的实践研究小学数学中培养学生几何直观能力的研究小学数学课堂教学与现代教育技术融合实验与研究小学数学教学中建立模型思想的策略与方法研究基于发展学生核心素养的小学数学作业设计有效性的研究小学中年级数学课堂提问有效性的研究小学数学小组合作学习有效性的研究小学数学课堂教学与信息技术整合的研究优化小学数学教学有效性的策略研究

由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫做推理。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。通俗讲合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。数学家波利亚说：“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”数学家指出了合情推理的重要性，那作为一名中学数学老师，在平时的课堂教学中如何教会学生合情推理，培养学生的合情推理能力就是一个值得探讨的课题。　　合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断，当今，教育领域正在全面推进，旨在培养学生创新能力的教学改革，但长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。合情推理的实质是“发现——猜想”，牛顿早就说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”　　一、在“数与代数”中培养合情推理能力　　在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”——公式、法则、推理律等，因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律，对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算理，以理驭算，能说出运算中每一步依据所涉及的概念运算律和法则，代数不能只重视会熟练地正确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。如：有理数加法法则是以学生借助数轴上点的向东向西运动问题从而用不完全归纳推理得到的，教学时不能只重视法则记忆和运用，而对产生法则的思维一带而过，又如，对于加乘法各运算律也都是采用不完全归纳推理形式提出的，重视这样的推理过程（尽管不充分）既能解释算律的合理性，又能加强对算律的感性认识和理解。再如，初中教材是用温度计经过形象类比和推理引入数学数轴知识的。再如：求绝对值|-5|=？ |+5|=？|-2|=？ |+2|=？ |-3/2|=？ |+3/2|=？从上面的运算中，你发现相反数的绝对值有什么关系？并作出简捷的叙述。通过这个例子，教学可以培养学生的合情推理能力，再结合数轴，可以让学生初步接触数形结合的解题方法，并且让学生了解绝对值的几何意义；再如：在学习整式乘法时，课本中是采用图形的面积从整体和局部两种计算方法之中得出整式乘法的相关法则，在此直观的数形结合的模式下，使学生能轻易的理解并表述出法则的内容。　　在教学中，教材的每一个知识点在提出之前都进行该知识的合理性或产生必然性的思维准备，要充分展现推理和推理过程，逐步培养学生合情推理能力。　　二、在“空间与图形”中培养合情推理能力　　在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理。又要重视合情推理。初中数学新课程标准关于《空间与图形》的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力。”并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中．要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在三角形内角和180º的教学中，通过学生剪裁拼合三个内角，再度量的方式发现得出三角形内角和180º；轴对称图形、线、底边上的中线、高线重合(三线合一)等,教材中没有加以证明,就用折纸的方法使学生确定它们的存在；在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系；等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。　　三、在“统计与概率”中培养合情推理能力　　统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎？首先应由学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。这个过程是合情推理，其结果只能使绝大多数同学满意。概率是研究随机现象规律的学科，在教学中学生将结合具体实例，通过掷硬币、转动转盘、摸球、计算器（机）模拟等大量的实验学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对其合理性的理解。　　总之，数学教学中对学生进行合情推理能力的培养，对于老师，能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件、提升教学水平和业务水平；对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。所以我们要大声的对孩子们说：大胆的猜想，小心的论证！