高一数学的课题研究

如果你是想活跃气氛，我可以给你很多适合高一数学思维的题目，但是如果你要是和学的东西搭配我暂时想不出来，可以给你两个题目做参考 有8个钢球看上去一样（外形完全一样），其中有一个超重，现在我有一个天平，请问我如何只秤两次，把这个超重的钢球选出来（选自微软一招聘题） //考的思想有:分类思想 还有一个题目： 一个水杯里面有一杯水，满的，我每次喝一口喝水杯中水的一半，我们知道是喝不完的，杯子里面总是会有水。 （数学里面的谬论）一只小狗朝一个主人跑过去，我们这样设想，小狗要跑到他的主人身旁，首先要跑到他们距离的一半，当跑到这个主人一半距离的时候，小狗又要继续跑到他们俩距离的一半才能到主人面前，小狗要跑到主人身旁总是要跑到他们距离的一半才能达到目的....我们知道小狗是能跑到主人的身旁的，甚至还可能超过主人继续向前跑。 问题出来了，一杯水我们把杯底看成是一个参照点，而同样地，那个主人我们把他看成参照点，这样小狗和水杯中的水面可以看成是朝他们运动的，为什么会有不同的结果呢？ 很容易理解的问题，其根本原因在哪儿呢？（这个问题是我前几天想出来的。没有答案的，学生踊跃发言记录下）到时给我留言哦。探究直线与圆的关系

　　高中数学研究性学习课题选题参考　　作者：德化一中数学组　　数学研究性学习课题　　1、银行存款利息和利税的调查　　2、气象学中的数学应用问题　　3、如何开发解题智慧　　4、多面体欧拉定理的发现　　5、购房贷款决策问题　　6、有关房子粉刷的预算　　7、日常生活中的悖论问题　　8、关于数学知识在物理上的应用探索　　9、投资人寿保险和投资银行的分析比较　　10、黄金数的广泛应用　　11、编程中的优化算法问题　　12、余弦定理在日常生活中的应用　　13、证券投资中的数学　　14、环境规划与数学　　15、如何计算一份试卷的难度与区分度　　16、数学的发展历史　　17、以“养老金”问题谈起　　18、中国体育彩票中的数学问题　　19、“开放型题”及其思维对策　　20、解答应用题的思维方法　　21、高中数学的学习活动——解题分析 A）从尝试到严谨、B）从一个到一类　　22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧　　23、中国电脑福利彩票中的数学问题　　24、各镇中学生生活情况　　25、城镇/农村饮食构成及优化设计　　26、如何安置军事侦察卫星　　27、给人与人的关系（友情）评分　　28、丈量成功大厦　　29、寻找人的情绪变化规律　　30、如何存款最合算　　31、哪家超市最便宜　　32、数学中的黄金分割　　33、通讯网络收费调查统计　　34、数学中的最优化问题　　35、水库的来水量如何计算　　36、计算器对运算能力影响　　37、数学灵感的培养　　38、如何提高数学课堂效率　　39、二次函数图象特点应用　　40、统计月降水量　　41、如何合理抽税　　42、市区车辆构成　　43、出租车车费的合理定价　　44、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？　　45、购房贷款决策问题　　研究性学习的问题与课题 （来自《数学百草园》，作者叶挺彪）　　《 立几部分 》　　问题1　　平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。　　问题2　　用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。　　问题3 作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点线距、面面距等。　　问题4　　异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。　　问题5　　立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。　　问题6　　作二面角的平面角是立几中的难点，常用方法有：定义法、三垂线法、垂面法。其实质是以点定位，即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形，由于点的个数较多，以哪个点作为定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。　　问题7　　等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。　　问题8 将三垂线定理进行推广与引伸，即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。以开阔眼界。　　《解几部分 》　　问题9　　对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题，试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。　　问题10　　我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。　　问题11 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。　　问题12 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的目的。　　问题13 将与中点有关的问题及解决方法进行推广，使之适用于定比分点的相应问题与方法。　　问题14 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。　　问题15 关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题策略。　　问题16　　解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。　　问题17 整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究其“纯代数解法”，从中探索新方法。　　问题18 把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦”问题。　　问题19 求轨迹问题中，纯粹性的简捷判别。　　问题20 在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”，扩大这思想在解几中的地位或功能。　　问题21 对平移变换的解题功能进行综述。　　问题22　　与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。　　《函数部分 》　　问题23 空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。　　问题24 整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。　　问题25　　求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如配方法、带余除法等）。　　问题26 总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。　　问题27 利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。　　问题28　　回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们称之为“给函数更衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。　　问题29 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这种方程的类型。　　问题30 在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。　　问题31 把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？　　问题32　　对于含参数的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。　　问题33 改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。　　《三角部分 》　　问题34 数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三角问题中的数形结合功能。　　问题35 概括sinx+cosx=a时相应x的取值范围，及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。　　问题36 整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。　　问题37 三角最值的构造证法中，型如 ，可转化成：1）动点（ccosx.asinx）与定点（-d,-b）连线的斜率；2）或先化为　　从而转化为动点（cosx.sinx）与定点 连线斜率等，考虑各种构造法的背景的联系，能否以此联系用于解决几何问题。　　问题38 一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。　　问题39 概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的常用方法。　　问题40　　三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。　　《不等式部分 》　　问题41　　一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型的补集法。　　问题42 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。　　问题43 观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。　　问题44 探求一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。　　问题45 整理常用的一此代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。　　问题46 考虑均值不等式的变用，及改变之后的不等式的背景意义。　　问题47 分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为多项式的转化为单项式。　　问题48 探索绝对值不等式和物理模拟法　　如果还有什么相关的课题，请各位同行提出。参考资料：http://sx.dhyz.com/new/Article_Print.asp?ArticleID=174

一、 课题报告的结构及写作方法 撰写课题报告有一般性的共同要求。但不同类型的课题报告由于其结构的不同，表现出不同的风格和特色。研究者撰写课题报告，首先必须把握各类报告的特征。 教育调查报告是对某种教育现象的调查，经过整理分析后的文字材料。一般由题目、引言、正文、讨论或建议、结论等几部分组成。 教育实验报告是教育实验之后，对教育实验全过程及其结果进行客观、概括地反映的书面材料。一般由题目、引言、实验方法、实验结果、结论、分析与讨论、参考文献和附录等几部分组成。 教育经验总结报告是对在教育教学实践中，经过去粗取精、去伪存真的积极探索而积累起来的经验的系统化、理论化的书面材料。由题目、引言、正文、结尾等几部分组成。 至此可见，课题报告的写作形式是不尽相同的，但可以归结为前言，正文、结论这种三段式的基本格局。 一篇完整的教育课题报告。除了上述几个组成部分外，还应有署名和参考资科两个部分。其目的是表示对报告负责并表明对报告的所有权。附录和参考资料是必须向读者交代的一些重要材料，参考文献是指在课题报告中参考和引用别人的材料和论述。应注明出处、作者、文献标题、书名或刊名、卷期、页码、出版机构及出版时间。 二、撰写课题报告的基本要求 1.引言 引言是课题报告的开场白。引言部分必须说明进行这项课题研究工作的缘由和重要性；前人在这一方面的研究进展情况，存在什么问题；本研究的目的，采用什么方法，计划解决什么问题，在学术上有什么意义等。要求简明扼要，直截了当。应该指出的是，有的人在文章中对前人的工作随意否定，或轻易断言此问题前人没有研究过，属于 历史空白，这是不妥当的。怎样开头为好，应根据课题报告的内容、各人的写作风格等因素全面考虑后确定。但必须注意防止面面俱到，不着边际，文不对题；或一步登天，言尽意止，不留余地等毛病。 2.正文 正文是课题报告的主体，占报告的绝大部分篇幅；是课题报告的关键部分，体现着报告的质量和水平。所以，必须重视正文部分的撰写。各种不同类型的课题报告在正文部分叙述的内容不尽相同。但要写好正文部分，都必须掌握充分的材料，然后对材料进行分析、综合、整理，经过概念、判断、推理的逻辑过程，最后得出正确的观点。并以观点为轴心，贯穿全文，用材料说明观点。做到材料与观点的统一，这是基本的要求。对初学者来说。往往易出现两种毛病：一种是只限于表述自己的论点，而缺乏科学的论证；只有论点，没有材料，缺乏说服力。另一种毛病是罗列大量材料，平铺直叙，看不出其主要论点是什么。出现上述毛病的原因就在于没有能以确凿的论据来说明论点，做到论点与论据的统一。为了科学、准确、生动形象地表达研究成果，提高说服力和可信性还应减少不必要的文字叙述，而采用图、表、照片来集中反映数据和关键的情节。当然，选用的图、表、照片也要注意少而精，准确无误。 3.结论 课题报告的结论部分是作者经过反复研究后形成的总体论点，它是整篇报告的归宿。结论必须指出哪些问题已经解决了，还有什么问题尚待研究。有的报告可以不写结论，但应作一简单的总结或对结果开展一番讨论；有的报告可以提出若干建议；有的报告不专门写一段结论性的文字，而是把论点分散到整篇文章的各个部分。不论是哪种类型的科学研究报告。都必须总结全文，深化主题，揭示规律。而不是正文部分内容的简单重复，更不是谈几点体会，喊几个口号。写结论必须十分谨慎，措词严谨，逻辑严密，文字简明具体，不能模棱两可，含糊其辞。 三。撰写课题报告应注意的几个问题 1．重点应放在介绍研究方法和研究结果方面。课题报告的价值是以方法的科学性和可靠性为条件的，而这两者又有内在的联系，因为只有研究方法是科学的，才能保证研究结果是可靠的。人们阅读或审查课题报告，主要关心的是如何开展研究，在研究中发现了什么问题，这些问题解决了没有，是如何解决的。研究结果在现阶段达到什么程度，还有什么问题需要继续解决等。因此，写作课题报告，主要精力应花在方法和结果部分，把研究方法交代清楚，使人感到该项研究在方法上无懈可击，从而不得不承认结果的可靠性。 2．理论观点的阐述要与材料相结合。在课题报告中怎样使自己的观点得到有力的论证，是应该关心的重要问题。论点的证实除了必须依靠逻辑的力量外，还需要依靠科学事实的支撑，做到论点与事实相结合。课题报告一定要有具体材料，尊重事实，从事实中列出观点。首先在论述过程中要处理好论点与事实的关系，要求研究者首先选好事实。除了要注意事实的典型性、科学性以外，还要善于用正反两方面的事实来说明问题，揭示普遍规律。其次是恰当地配置事实，用事实论证，主要是用来帮助人们理解不熟悉的论点。 3．分析讨论要实事求是，不夸大，不缩小。在下结论时要注意前提和条件，不要绝对化，也不要以偏概全，把局部经验说成是普遍规律

找了一些，希望对你有用一．教材分析主旨：1、在生活中发现，在生活中学习，为生活服务。 2、渗透EPD思想。《数学课程课标》指出：义务教育阶段的数学课程要使学生“人人学有价值的数学”。对学生来说，什么是有价值的数学呢？我认为，“数学价值”主要体现在学生现在和未来社会生活中对所学知识的应用。在《空间与图形》中有关立体图形的一些内容，在我们的生活中有着广泛地应用。作为一节复习课，在教学内容的设计上，我不仅重视学生对概念、公式的把握，同时还要让学生在解决问题的过程中，认识到一般规律和具体问题的关系，今后能灵活地应用所学知识解决实际问题。（1）在生活中发现问题。数学源于生活，作为教学活动的组织者、引导者与合作者，我们有责任把学生引入丰富多彩的现实生活，带引他们去发现数学、捕捉数学。（2）在生活中学习。《数学课程课标》还指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的……”所以数学规律的发现和应用不能只是简单的呈现，而需要调动学生的多种感官参与到数学活动去，并在活动的过程中体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程带给我们的乐趣。（3）为生活服务。数学源于生活，终将服务于生活。数学知识的学习与应用如果脱离了生活实际就会失去其本身所具有的强大的社会生命力。在设计这节复习课时，我从现实生活中去寻找可开发利用的学习资源，利用“火柴盒”复习立体几何的有关知识。之所以选择“火柴盒”作为研究的素材，一是因为学生对它既熟悉又陌生，二是其中蕴涵着许多数学问题，三是利用它可以进行环境保护的思想教育，于是我把课题定为《生活中的数学》。总之，通过本节课的学习，使学生再一次感受到生活中有许多值得我们去探究的数学问题，只要我们做一个有心人，主动地去发现信息、运用信息，就会发现我们生活中处处有数学。二．学生分析我校地处海淀区的二里沟试验学区，学生接触的教材是全新的，学生所受到的教育的理念也是全新的，随着互连网技术的逐渐普及和学生学习方法的不断积累，学生学习的渠道也是多方位的，多数学生的思维是灵活的、敏捷的，已经能在教师指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题，了解同一问题可以有不同的解决办法，有与同伴合作解决问题的体验，并能够表达解决问题的大致过程和结果，能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。但是，由于学生个体的差异，使得已有知识基础、探索新知的快慢程度等也会出现差异。因此，教学内容的安排，教学过程的设计，教学方式的选择，以及教学手段的使用都要从学生的需要出发。本节课我选择火柴盒作为贯穿全课的唯一的学习用具，而且人手一个，就是要让学生在短短的40分钟内，充分了解它的构造，以及由它而产生的许多奇妙的数学问题，从而激发学生学习数学的兴趣。作为六年级即将毕业的学生，对已学的几何公式的掌握应该不存在很大的问题，但如何能利用学过的知识灵活地解决问题，学生的水平是参差不齐的，有些学生会感到很困难，因此教师要在平时的教学中，有意识地训练学生解决问题的能力，并充分发挥优等生的作用，发挥小组的作用，使所有的学生都能在原有的知识基础上得到提高。三．教学目标教学目标：1．通过进一步认识火柴盒的构造，能从数学的角度提出一些数学问题，并能说出用哪些相关的数学知识进行解答。2．培养学生学数学、用数学的意识，以及在解决数学问题的过程中敢于探索、敢于挑战的精神。3．通过教学对学生进行环境保护的教育，渗透EPD的教育思想，即环境保护和可持续性发展。教学重点：计算火柴盒的实际用料面积。教学难点：1．多种方法计算火柴盒的实际用料面积。2．火柴盒的包装问题。教具准备：课件、火柴盒。四．教学过程：（一）谈话引入。 5分同学们手里都有一个火柴盒，你见过吗？今天我们就利用它来研究一些数学问题。问：从数学的角度，我们都可以提哪些问题呢？解决这些问题要用到我们学过的哪些知识呢？老师提出要求：（1） 先自己想一想。（2） 小声和同组的同学交流一下，看看哪个组说的最充分。（3） 全班交流。涉及到的问题：（1） 求火柴盒的表面积。 利用的知识：长方体的表面积：S＝2（ab＋ah＋bh）（2） 求火柴盒的体积（容积）。师：如果壁厚忽略不计的话，可以看成解决的是同一个问题。利用的知识：长方体的体积：V=abh（3） 求占地面积。问：怎么放占地面积最大？怎么放占地面积最小？师：占地儿的大小与火柴盒摆放的方法有关。（4） 求实际用料面积（用了多少纸）。问：求几个面的面积？（9个） 哪9个？（外盒4个面的用料面积+内盒5个面的用料面积）（点评：通过进一步认识火柴盒的构造，能从数学的角度提出一些数学问题，并能说出用哪些相关的数学知识进行解答。）（二）求实际用料面积。 10分师：刚才同学们提出了一个很有研究价值的问题，求实际用料面积。1.先自己做，至少用两种方法。（学生自己测量需要的数据：a=4.5cm b=3.5cm h=1cm）师：没有数据，立刻知道去测量，这种意识很好。2．小组交流，看哪个组想出的方法最多。3．全班交流。（1） 外盒的用料面积加上内盒的用料面积。（2） 按两个表面积算，减去多算的。（3） 按一个表面积算，加上少算的。（4） 数一数大面有几个，中面有几个，小面有几个，最后把它们的面积加起来。（5） 其它方法。4． 教师小结。问：你最喜欢哪种方法？看来，同学们都有自己喜欢的方法，你觉得哪种方法最好你就使用哪种方法，同时也可以借鉴其他人的方法。（点评：有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。）（三）火柴包装问题。 10分1．师：火柴在出厂前是要进行包装的。如果要把两盒火柴包装在一起，都可以怎样包装？你准备怎么包？说说理由。2．计算把两盒火柴包装在一起，至少需要多少包装纸？（1）学生独立计算（2）汇报计算方法方法一：两个表面积减去两个大面的面积方法二：直接利用公式计算新拼成的长方体的表面积方法三：其它方法3．问：想知道火柴盒厂是几盒作为一个包装的吗？（一般是10盒）怎么包装最省纸？课下你们可以继续研究。（点评：这一内容的安排，可以考察学生是否会运用学过的知识灵活地解决问题）（四）求火柴盒的体积（容积）。 12分问：你们知道制造火柴的主要原料是什么？（木材、磷）如果要把这个火柴盒装满（缝隙忽略不计），大约需要多少木材？（求的是火柴盒的容积。）板书：4.5×3.5×1=15.75(cm3)师：在我们看来，制造一盒火柴需要的木材并不多，但是，当你看到以下这些数据时，我想你会惊讶的。电脑出示幻灯片（森林背景）据资料记载①：火柴作为普及型引火用具在我国已有150年的历史。师：近年来由于汽体打火机的冲击，火柴的用量大减。但目前国际市场已禁止生产和销售汽体打火机，我国也限制汽体打火机的生产和销售，因此火柴作为普通引火用具在国内仍有广泛的市场。据调查统计②全国每天需要20万标箱火柴，而用木材生产火柴每天需消耗7200立方米的优质木材。 问：一年按365天计算，一年大约要用掉多少木材呢？③7200×365=2628000（立方米）问：这些木材从哪来？需要砍伐多少棵大树呢？咱们一起来估算一下好吗？以下是一些相关的数据：一般用杨树制造火柴，这种树成活15至20年能被砍伐，直径大约是40厘米，高15至20米。师：我们把可用部分可以看成是一个什么体？（近似的圆柱体）那可用部分的体积是多少呢？要用到我们学过的什么知识？（求圆柱体的体积 V=Sh）（1） 学生试算。（2） 反馈交流。202×3.14×1500=1884000(cm3)=1.884(m3)2628000÷1.884≈140(万棵)④：一棵树的占地面积大约是20平方米。那一年我们将砍伐多大面积的森林呢? 140×20=2800(万平方米)=2800公顷师：中国在未来相当长一段时间内，依然需要在人口压力大而资源相对不足的基础上推进经济发展，大量的砍伐，甚至是不正确的砍伐树木，就等于在不断地破坏我们赖以生存的环境，因此处理好经济发展和环境保护的矛盾，保持经济的可持续发展，是非常重要的问题。有关专家指出，用麦秆、草秆为原料生产火柴，可以节省大量木材，市场前景广阔。（点评：通过教学对学生进行环境保护的教育，渗透EPD的教育思想，即环境保护和可持续性发展。）（五）课堂小结。 3分1．用一句话说说这节课你最大的收获和体会是什么？ 2师：今天我们解决的是生活中的数学问题。（揭示课题）生活中还有许多问题值得我们去探讨、去研究。生活是一个大课堂，我们要善于从数学的角度去观察生活，体验生活。（六）板书设计生 活 中 的 数 学面积：长方体的表面积 S= 2（ab＋ah＋bh）体积：长方体的体积 V= abh 圆柱体的体积 V= Sh五．教师反思一提到复习课，别说学生，就连老师都挠头。学过的旧知识被老师一股脑地搬出来，然后就是机械地要求学生记定义、记概念、记公式，接踵而来的就是大量的练习。对这样的复习，学生的兴趣不高，教师也被搞的疲惫不堪。如何才能把复习课上的生动有趣呢？本节课我又进行了一次大胆的尝试，利用火柴盒让学生从数学的角度提出问题、解决问题，把数学与生活巧妙地结合在一起，既掌握了相关的数学知识，同时又进行了一定的思想教育，可谓是一举两得。更重要的是学生不再认为复习课枯燥无味，而是节节有新的收获。火柴盒曾是我们生活中必不可少的一样东西，但近年来被其它一些东西所取代，很多学生对它缺乏了解。新课标指出，教师应因地制宜，有意识、有目的地开发和利用各种资源。于是我把它引进课堂，并人手一个。学生在计算火柴盒的实际用料面积时方法多样，真正做到了一题多解；在讨论火柴盒的包装问题时，学生的包装方法不尽相同，大多数同学从省纸的角度出发，认为怎样消失的面最大就怎样包，也会有个别的同学是从美观的角度出发，提出自己的包装方案，体现出现代学生的个性特点。整节课把学生的自主探索与合作交流有机地结合起来，既有师生之间的互动，也有生生之间的互动。最精彩的还应是学生最后的发言：“我觉得，我们真的该保护环境了……”你要先确实一个自己或小组感兴趣的内容，然后分工合作，得到结论，过程中有不清楚的地方再问，首先你要确定一个课题

数学研究性学习课题 1、银行存款利息和利税的调查 2、气象学中的数学应用问题 3、如何开发解题智慧 4、多面体欧拉定理的发现 5、购房贷款决策问题 6、有关房子粉刷的预算 7、日常生活中的悖论问题 8、关于数学知识在物理上的应用探索 9、投资人寿保险和投资银行的分析比较 10、黄金数的广泛应用 11、编程中的优化算法问题 12、余弦定理在日常生活中的应用 13、证券投资中的数学 14、环境规划与数学 15、如何计算一份试卷的难度与区分度 16、数学的发展历史 17、以“养老金”问题谈起 18、中国体育彩票中的数学问题 19、“开放型题”及其思维对策 20、解答应用题的思维方法 21、高中数学的学习活动——解题分析 A）从尝试到严谨、B）从一个到一类 22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧 23、中国电脑福利彩票中的数学问题 24、各镇中学生生活情况 25、城镇/农村饮食构成及优化设计 26、如何安置军事侦察卫星 27、给人与人的关系（友情）评分 28、丈量成功大厦 29、寻找人的情绪变化规律 30、如何存款最合算 31、哪家超市最便宜 32、数学中的黄金分割 33、通讯网络收费调查统计 34、数学中的最优化问题 35、水库的来水量如何计算 36、计算器对运算能力影响 37、数学灵感的培养 38、如何提高数学课堂效率 39、二次函数图象特点应用 40、统计月降水量 41、如何合理抽税 42、市区车辆构成 43、出租车车费的合理定价 44、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？ 45、购房贷款决策问题 研究性学习的问题与课题 （来自《数学百草园》，作者叶挺彪） 《 立几部分 》 问题1 平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。 问题2 用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。 问题3 作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点线距、面面距等。 问题4 异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。 问题5 立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。 问题6 作二面角的平面角是立几中的难点，常用方法有：定义法、三垂线法、垂面法。其实质是以点定位，即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形，由于点的个数较多，以哪个点作为定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。 问题7 等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。 问题8 将三垂线定理进行推广与引伸，即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。以开阔眼界。 《解几部分 》 问题9 对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题，试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。 问题10 我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。 问题11 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。 问题12 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的目的。 问题13 将与中点有关的问题及解决方法进行推广，使之适用于定比分点的相应问题与方法。 问题14 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。 问题15 关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题策略。 问题16 解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。 问题17 整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究其“纯代数解法”，从中探索新方法。 问题18 把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦”问题。 问题19 求轨迹问题中，纯粹性的简捷判别。 问题20 在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”，扩大这思想在解几中的地位或功能。 问题21 对平移变换的解题功能进行综述。 问题22 与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。 《函数部分 》 问题23 空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。 问题24 整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。 问题25 求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如配方法、带余除法等）。 问题26 总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。 问题27 利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。 问题28 回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们称之为“给函数更衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。 问题29 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这种方程的类型。 问题30 在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。 问题31 把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？ 问题32 对于含参数的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。 问题33 改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。 《三角部分 》 问题34 数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三角问题中的数形结合功能。 问题35 概括sinx+cosx=a时相应x的取值范围，及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。 问题36 整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。 问题37 三角最值的构造证法中，型如 ，可转化成：1）动点（ccosx.asinx）与定点（-d,-b）连线的斜率；2）或先化为 从而转化为动点（cosx.sinx）与定点 连线斜率等，考虑各种构造法的背景的联系，能否以此联系用于解决几何问题。 问题38 一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。 问题39 概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的常用方法。 问题40 三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。 《不等式部分 》 问题41 一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型的补集法。 问题42 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。 问题43 观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。 问题44 探求一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。 问题45 整理常用的一此代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。 问题46 考虑均值不等式的变用，及改变之后的不等式的背景意义。 问题47 分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为多项式的转化为单项式。 问题48 探索绝对值不等式和物理模拟法 如果还有什么相关的课题，请各位同行提出

数学研究性学习课题 1、银行存款利息和利税的调查 2、气象学中的数学应用问题 3、如何开发解题智慧 4、多面体欧拉定理的发现 5、购房贷款决策问题 6、有关房子粉刷的预算 7、日常生活中的悖论问题 8、关于数学知识在物理上的应用探索 9、投资人寿保险和投资银行的分析比较 10、黄金数的广泛应用 11、编程中的优化算法问题 12、余弦定理在日常生活中的应用 13、证券投资中的数学 14、环境规划与数学 15、如何计算一份试卷的难度与区分度 16、数学的发展历史 17、以“养老金”问题谈起 18、中国体育彩票中的数学问题 19、“开放型题”及其思维对策 20、解答应用题的思维方法 21、高中数学的学习活动——解题分析 A）从尝试到严谨、B）从一个到一类 22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧 23、中国电脑福利彩票中的数学问题 24、各镇中学生生活情况 25、城镇/农村饮食构成及优化设计 26、如何安置军事侦察卫星 27、给人与人的关系（友情）评分 28、丈量成功大厦 29、寻找人的情绪变化规律 30、如何存款最合算 31、哪家超市最便宜 32、数学中的黄金分割 33、通讯网络收费调查统计 34、数学中的最优化问题 35、水库的来水量如何计算 36、计算器对运算能力影响 37、数学灵感的培养 38、如何提高数学课堂效率 39、二次函数图象特点应用 40、统计月降水量 41、如何合理抽税 42、市区车辆构成 43、出租车车费的合理定价 44、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？ 45、购房贷款决策问题 研究性学习的问题与课题 （来自《数学百草园》，作者叶挺彪） 《 立几部分 》 问题1 平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。 问题2 用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。 问题3 作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点线距、面面距等。 问题4 异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。 问题5 立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。 问题6 作二面角的平面角是立几中的难点，常用方法有：定义法、三垂线法、垂面法。其实质是以点定位，即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形，由于点的个数较多，以哪个点作为定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。 问题7 等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。 问题8 将三垂线定理进行推广与引伸，即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。以开阔眼界。 《解几部分 》 问题9 对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题，试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。 问题10 我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。 问题11 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。 问题12 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的目的。 问题13 将与中点有关的问题及解决方法进行推广，使之适用于定比分点的相应问题与方法。 问题14 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。 问题15 关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题策略。 问题16 解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。 问题17 整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究其“纯代数解法”，从中探索新方法。 问题18 把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦”问题。 问题19 求轨迹问题中，纯粹性的简捷判别。 问题20 在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”，扩大这思想在解几中的地位或功能。 问题21 对平移变换的解题功能进行综述。 问题22 与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。 《函数部分 》 问题23 空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。 问题24 整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。 问题25 求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如配方法、带余除法等）。 问题26 总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。 问题27 利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。 问题28 回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们称之为“给函数更衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。 问题29 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这种方程的类型。 问题30 在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。 问题31 把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？ 问题32 对于含参数的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。 问题33 改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。 《三角部分 》 问题34 数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三角问题中的数形结合功能。 问题35 概括sinx+cosx=a时相应x的取值范围，及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。 问题36 整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。 问题37 三角最值的构造证法中，型如 ，可转化成：1）动点（ccosx.asinx）与定点（-d,-b）连线的斜率；2）或先化为 从而转化为动点（cosx.sinx）与定点 连线斜率等，考虑各种构造法的背景的联系，能否以此联系用于解决几何问题。 问题38 一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。 问题39 概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的常用方法。 问题40 三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。 《不等式部分 》 问题41 一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型的补集法。 问题42 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。 问题43 观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。 问题44 探求一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。 问题45 整理常用的一此代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。 问题46 考虑均值不等式的变用，及改变之后的不等式的背景意义。 问题47 分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为多项式的转化为单项式。 问题48 探索绝对值不等式和物理模拟法 如果还有什么相关的课题，请各位同行提出。求采纳

　　“高中数学课程标准”正在积极、紧张的讨论和制订过程中，为了更广泛地了解社会各主要行业对高中数学课程和内容的需求，以便为“标准”的制订提供依据，我们在大学的理、工、文、农（含林医）、经济等专业和社会生活中理、工、文、农（含林医）、经济等行业中选择了有代表性的方向进行了调查、研究，现将有关结论综述如下，本次调查的其它结论见附录三、附录四、附录五、附录六、附录七。　　一、调查的对象、内容和调查方式。　　本次调查，我们选取了理科的物理、化学、计算机，工科的工程、机械、电工、无线电、文科的文学、艺术、历史、政治，农科的农业、林业、渔业、地理，以及经济学等专业作为主要调查对象。调查内容见附录一。调查方式采用问卷调查、走访提问、资料搜集等形式进行。　　二、调查结论。　　1.对数学的认识.　　调查结果显示,数学在现代社会生产、生活中各个方面的应用越来越广泛，数学已经渗透到各行各业，各个专业方向。从卫星到核电站，从天气预报到家居生活，高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。产品、工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理，信息处理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用。另外，数学文化、数学的思想方法，也处处影响人们的生产和生活。　　2.对现行高中数学教学内容使用情况的调查。　　本次调查把现行高中数学教材（必修本）和原二省一市，现十省市使用的高中数学教材的15个部分内容分为经常用到、有时用到、偶尔用到和不用等四个方面进行调查（见附录一）。调查结果如下（各个方面的意见不一致，大致统计）。　　经常用到：集合与简易逻辑，函数的解析式、图象，幂函数，指数函数，不等式的性质，解一元二次不等式，不等式的证明，解任意三角形，数列的通项公式，等差数列，等比数列，曲线与方程，直线方程，二元一次不等式的图象解法，简单线性规划问题，平面图形直观图的画法，加法原理，乘法原理，排列及排列数公式，组合及组合数公式，概率的意义，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，独立重复试验发生的概率的，离散型随机变量分布列、期望值、方差，抽样方法，正态分布，线性回归，数列的极限，函数的极限，函数的连续性，导数的意义，初等函数的求导，函数的最大与最小值，求简单函数的不定积分，图形的面积计算，图形的体积。　　有时用到：映射, 反函数,指数函数 ，对数函数, 数学归纳法， 平面向量的运算，平面向量的坐标表示，平面向量的数量积, 三角函数的诱导公式，三角函数的图象和性质，圆的方程，抛物线及其标准方程，平面及其基本性质，空间向量及其运算，用空间向量处理几何问题，总体分布的估计，复合函数的求导，微分的运算，利用导数研究函数的性质，求简单函数的定积分，微积分基本公式，积分的其它应用，解指数不等式，复数的向量表示。　　偶尔用到：解无理不等式，解对数不等式，直线与平面的位置关系，多面体，棱柱，球， 椭圆极其标准方程，双曲线及其标准方程，椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质， 二项式定理，复数的运算。　　基本不用：平面与平面的位置关系，异面直线， 三角函数的和差化积与积化和差，棱锥，复数的三角形式运算。　　3．对是否可以列入新高中数学课程内容的调查。　　本次调查列出24个知识项分为可以与不可以两个方面进行调查（见附录一），结果如下（各个方向的意见不一致，大致统计）。　　认为可以列入的有：估算， 算法，向量与变换，行列式，矩阵的代数运算（以二维为主），逻辑量词，离散数学初步，数列的递推，条件概率，概率密度，连续型随机变量的分布列、期望值与方差，区间估计，相关系数，二项分布，探究性问题，用图形计算器解决问题，用计算机探究问题，数学建模。　　认为不可以列入的有：迭代法解方程， 矩阵与几何变换，复数的指数形式，复数与三角变换，回归函数，复合函数的积分，分步积分。　　对于本次调查的其他部分内容，如应重视哪能数学思想方法，应强调培养哪些数学能力，现行高中教材中“立体几何”“解析几何”“三角函数”等内容的功能和意义如何等项的调查正在进行之中。另外，根据附录一、二在网上调查也正在进行。参考资料：http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=1984

学而知其所以然，知其因果，语文和数学是相通的，写一篇好的作文，首先要知道主旨，就是要问的是什么，再而列出提纲，就是解题思路，要搞清因果关系，你要的调查数据就反映在这些因果中，分析问题，画出问题因果路线图，数学中有一种叫分析法，通过问题，反映因果关系，足步找出解决办法，比如说：语文的课文怎么背，数学的公式怎么背，两者有何相同的，不同处？........不知道你听明白没有，就这样！！好吧，我服了你们了，每一个中靶的。请问这属于恋爱范围的问题吗？你回错问题了吧？！

高中的数学是难了点，但是它没有什么诀窍或窍门，努力是成功的最快办法。